Le nombre d'or :

Le nombre d'or :

L'Homme de Vitruve de Léonard de Vinci

Un nombre étonnant, mystérieux et magique pour avoir fait parler de lui depuis la plus haute antiquité dans de nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture, la nature .

Il serait une expression d’harmonie et d’esthétique dans les arts bien que certains lui reproche son caractère ésotérique qui cherche absolument à lui trouver une obscure beauté et qui semble y parvenir !
On le note (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (Ve siècle avant J.C.) qui participa à la décoration du Parthénon sur l’Acropole à Athènes.
Quant à son nom, il a évolué avec le temps.

Le mathématicien et moine franciscain Luca Pacioli (1445 ; 1517) parle de « Divine proportion », plus tard le physicien Johannes Kepler (1571 ; 1630) le désigne comme le « joyau de la géométrie ».
Alors que pour Léonard de Vinci, ce sera la « section dorée ».
Il faudra attendre 1932, avec le prince Matila Ghyka, diplomate et ingénieur pour entendre le terme de « nombre d’or ».

On retrouve des traces du nombre d’or bien avant les grecs.

En Egypte par exemple, coïncidence ou volonté d'y parvenir, le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops (mesurée par Thalès de Milet (-624 ; -548)) par sa demi-base est égal au nombre d'or.

Mais c’est le grec Euclide d'Alexandrie (-320 ; -260 ) qui pour la première fois en donne une définition dans son œuvre « Les éléments ».
Son écriture décimale est infinie.
Une valeur approchée est 1,618 033 989 .....

Le rectangle d'or :

Le format d'un rectangle est le rapport longueur sur largeur.

Exemple : Le format d'une feuille de papier classique (A3, A4 ou A5) est .
En effet, le nombre d'or correspond bien à un rapport de longueurs.

On partage un segment de façon que le rapport de la grande part sur la petite part soit égal à celui du tout sur la grande part.
Ce rapport est le nombre d'or que l'on retrouve dans les côtés du rectangle d'or.

La spirale d'or :

Pour construire une spirale d’or, on construit un rectangle d’or dans lequel on construit un grand carré de côté la largeur du rectangle.
On réitère l’opération dans le rectangle restant qui est un rectangle d’or … et ainsi de suite, …
Puis, on construit des quarts de cercle dans les carrés.

La spirale obtenue se rencontre souvent dans la nature : tournesols, pommes de pins, coquillages, disposition des feuilles ou des pétales sur certaines plantes.

La triangle d'or :

On appelle triangle d'or un triangle isocèle dont les côtés sont dans le rapport du nombre d'or.
De ce fait, les deux triangles d'or possible ont des angles à la base de 36° ou 72°.

La suite de Fibonacci :

La forme recurrente de cette suite est :


Citons le célèbre problème de prolifération des lapins dû au mathématicien italien Léonard de Pise dit FIBONACCI (1175 - 1240) :
"Combien de couples de lapins obtiendrons-nous à la fin de chaque mois si commençant avec un couple, chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif au second mois de son existence ?"

• Au premier mois, il y aura 1 couple.
• Au deuxième, il y aura 1 couple.
• Au troisième mois, il y aura 2 couples.

Et ainsi de suite pour obtenir la suite de Fibonacci :

1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ;....

Chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.
En prenant les rapports de deux nombres successifs de la suite, on constate que ces rapports se rapprochent du nombre d’or plus les nombres sont élevés dans la suite.

En algebre :

Le nombre d’or est solution de l’équation x² - x - 1 = 0.
Prouvons-le à l'aide d'un rectangle d'or de largeur 1. Dans ce cas la longueur est égale au nombre d'or. Notons la x.
Mais nous avons vu plus haut que le rapport de la longueur (x) à la largeur (1) est égal au rapport du tout (x+1) à la longueur (x), soit :

.

En multipliant des deux côtés par x :

soit .

le discriminant est :



donc il y a deux solutions distinctes car