Euclide d'Alexandrie

Grec (-320 ; -260)



Il est celui que l'on peut considérer comme le plus grand enseignant de mathématiques de l'histoire .
Euclide est un des plus grands mathématiciens de l’Antiquité et pourtant on ne connaît pas grand chose de sa vie.
Il aurait commencé ses études dans l’Académie, l’école d’Athènes fondée par Platon.
On sait qu’il vit à Alexandrie en Egypte, ville érigée par Alexandre le Grand en 331 avant J.C. et célèbre pour son phare aujourd'hui détruit en 1303 par un tremblement de terre.

Dans la prestigieuse Ecole d’Alexandrie, il dirige une équipe de mathématiciens qui participent à l’écriture de son œuvre. Cette école connaîtra plus tard d’autres savants
tels qu’Archimède de Syracuse (-287 ; -212).
L’ œuvre « Les éléments », que nous laisse Euclide,
servira de base à toute la géométrie pendant plus de 2000 ans.
Une vraie encyclopédie, composée de 13 livres, qui traite des figures géométriques,
des polygones inscrits et circonscrits à un cercle,
des proportions, de la géométrie dans l’espace ainsi que des nombres.
Deux autres livres seront complétés plus tard par Archimède (cercles, cylindres, Pi)
et Apollonius (cônes, coniques : ellipse, parabole, hyperbole).

Euclide apporte des définitions rigoureuses et démontre les grands théorèmes de ses ancêtres, comme ceux de :
Thalès de Milet (-624 ; -548) et Pythagore de Samos (-569 ; -475) .

Dans "Les éléments", on trouve en particulier les cinq postulats qui fondent les bases de la géométrie.

• Postulat 1 :

Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.

• Postulat 2 :

Tout segment est prolongeable en une droite.

• Postulat 3 :

Deux points distincts étant donnés, il passe un cercle et un seul de centre le premier point et passant par le second.

• Postulat 4 :

Tous les angles droits sont égaux entre eux.

• Postulat 5 :

Par un point extérieur à une droite, il passe une droite et une seule parallèle à la droite donnée.

Ce dernier postulat aussi appelé postulat d’Euclide est le fondement de la géométrie euclidienne.
Euclide étudie aussi les cinq polyèdres réguliers (dits de Platon).
Il démontre qu’il en existe cinq et cinq seulement :
• le tétraèdre;
• l'octaèdre;
• l’icosaèdre;
• le cube;
• le dodécaèdre.

Euclide travaille en particulier sur les nombres premiers (entier naturel divisible que par 1 et lui-même)
et prouve entre autre que lensemble des nombres premiers (IP) est infini.

Division euclidienne ( étudiée en 6°) sur les entiers naturels (IN) :

Soient a et b (a>b) deux entiers non nuls, il existe un couple d'entiers naturels ( q , r) tels que : • a=bxq+r avec r>b. • a est appelé le dividende; • b est appelé le diviseur; • a est appelé le quotient; • r est appelé le reste.

On dit alors qu'on a réalisé la division euclidienne de a par b .

Exemple :

37 = 4×9 + 1 : dans la division euclidienne de 37 par 9, 4 est le quotient et 1 est le reste.

Division euclidienne dans l'ensemble des polynômes IK[X] :

Il existe une opération analogue dans l'anneau des polynômes Ik[X] ( IK étant un corps) :

soient A et B deux polynômes de IK[X], B étant non nul, alors il existe deux autres polynômes Q et R dans IK[X] tels que : • A=BQ+R. • avec R=0, ou alors degré(R)

Il invente aussi un algorithme bien célèbre qui porte aujourd’hui
le nom d’algorithme d’Euclide permettant de
calculer le pgcd (plus grand commun diviseur) de deux entiers a et b (étudié en 3°) sans effectuer leur décomposition en facteurs premiers.
Algorithme permettant de vérifier que deux nombres sont premiers entre eux si le pgcd(a,b) = 1.

Il est basé sur le lemme suivant :

Si a et b sont deux entiers avec par exemple a>b, si r est le reste de la division euclidienne de a par b alors le pgcd(a ,b) = pgcd( b ,r).

On fait donc des divisions euclidiennes, jusqu'à ce qu'on trouve un reste nul.
Le dernier reste non nul est le pgcd de a et b (car pgcd (r,0) = r ).
Exemple :

On souhaite calculer le pgcd de 255 et 141.
255=1×141+114
141=1×114+27
114=4×27+6
27=4×6+3
6=2×3+0
Le pgcd(255,41)= 3.
L'algorithme d'Euclide permet aussi de calculer les coefficients de Bezout ( étudié en terminale S spécialité) de a et b
(on l'appelle algorithme d'Euclide étendu).
Rappelons que si d est le PGCD de a et b, il existe des entiers u et v tels que au+bv=d.
L'algorithme d'Euclide permet de calculer une valeur possible pour ces entiers u et v.
Il suffit pour cela de remonter les calculs, en exprimant le pgcd d en fonction des autres nombres,
d'abord dans la dernière équation, puis dans la précédente, et ainsi de suite...

Exemple : Pour 255 et 141,
on élimine tout ce qui n'est pas 255 et 141.
27=4×6+3
114=4×27+6 ×(-4) (on élimine les 6).
141=1×114+27 ×17 (on élimine les 27, il y en a 1 à gauche, et -16 à droite).
255=1×141+114 ×(-21) (on élimine les 114).
On somme tout, on regroupe, et on trouve :
38×141-21×255=3
L'algorithme d'Euclide permet donc en particulier de calculer
les inverses dans les anneaux d'entiers modulaires Z/nZ.