Probleme du baccalaureat s :

Probleme :(Amerique du nord)

Partie A

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considere l'équation différentielle :



1. On fait l'hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur , vérifient, pour tout x réel :



a. Montrer que g est solution de si et seulement si, pour tout x réel :

.

b. En déduire la fonction h associée à une solution g de , sachant que f(0)=0.

Quelle est alors la fonction g?

2. Soit une fonction dérivable sur .

a. Montrer que est solution de si et seulement si est solution de l'équation :

(F) y'+y=0

b. Résoudre (F) .

c. déterminer la solution générale de l'équation .

d. Déterminer la solution f de l'équation vérifiant f(0)=0 .

Partie B

Le but de cette partie est de montrer que :

1. On pose, pour tout x réel,

.

a. vérifier que est solution de l'équation différentielle : y'+y= .

b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction comme la solution de l'équation différentielle y'+y= vérifiant .

En utilisant la partie A, montrer par récurrence que , pour tout x réel et tout entier :

.

2. Pour tout entier naturel n, on pose :



a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l'intervalle [0;1], l'encadrement :

.

En déduire que , puis déterminer la limite de la suite .

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l'égalité :

.

c. Calculer et déduire de ce qui précéde que :

.

d. En déduire finalement :