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Les nombres complexes

Cours sur les nombres complexes.

I. Notion de nombre complexe :

1. Théorème :

théorème :

Il existe un ensemble noté , appellé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes :

contient l’ensemble des nombres réels;

L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

– Il existe un nombre complexe noté i tel que i²= – 1 ;

– Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique z=x+iy avec x et y réels.

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Exemples :

z =3 + 5i ; z = – 3,7i ; z = – 7i sont des nombres complexes.

Un peu d’histoire :

 

En 1777, Euler introduit la lettre i, Gauss en généralisera l’emploi à partir de 1830.

2. Définition :

Définition :

L’écriture z = x+iy avec x et y réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z .

x est la partie réelle de z, notée Re(z).

y est la partie imaginaire de z, notée Im(z) .

Exemple :

z = -3 +5i alors Re(z) = -3 et Im(z) = 5

 

Remarques :

- Les parties réelles et imaginaires sont des nombres réels.

– Lorsque y=0, z est un réel et lorsque x=0, z= iy (y réel) est appelé imaginaire pur.

3. Propriété 1 :

Propriété :

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

 

Remarque :

- Cette propriété découle de l’unicité de l’écriture d’un nombre complexe sous forme algébrique.

– En particulier, x et y étant des réels, x+iy=0 si et seulement si x=0 et y=0.

 

II. Représentation géométrique des nombres complexes :

Soit un répère orthonormé du plan .

1. Définition :

Définition :

A tout nombre complexe z=x+iy avec x et y réels, on associe le point M de coordonnées (x;y).

On dit que

– M est le point image de z

– OM est le vecteur image de z.

– z est l’affixe du point M on note M(z)

Le plan est alors appelé plan complexe, noté P.

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Remarque et vocabulaire :

- Les nombres réels sont les affixes des points de l’axe des abscisses appelé axe des réels .

– Les imaginaires purs sont les affixes des points de l’axe des ordonnées appelé aussi axe des imaginaires purs.

(OU,OV)=pi/2 [2pi], on dit que (O,OU,OV) est un repère direct .

III. Opérations sur les nombres complexes :

1. Addition et multiplication dans C :

1.1. Règles de calculs :

 

Règles :

L’addition et la multiplication des nombres réels se prolonge aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

 

Exemples :

 

(1+3i)+(-3+2i)=(1-3)+(3i+2i)=-2+5i

(4+i)(-5+3i)=-20+12i-5i+3i²=-20+7i-3=-23+7i (car i² = – 1) .

 

Remarques :

- Les identités remarquables abordées en classe de 3° restent valables dans C.

– soit z et z’ éléments de C, zz’=0 équivaut à z = 0 ou z’ = 0.

 

1.2. Représentations géométrique de la somme :

Propriété :

Deux nombres complexes z et z’ ont pour images respectives M et N dans le plan complexe .

z+z’ a pour image le point P quatrième sommet du parallélogramme MONP .

 

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2. Inverse et quotient :

 

2.1. Propriété 2 :

Propriété :

Tout nombre complexe non nul z admet un inverse noté 1/z.

Pour obtenir la forme algébrique de :

 

((x,y) différent du couple (0;0)).

On multiplie numériquement le numérateur et le dénominateur par x – iy car (x+iy)(x-iy)=x²+y² est un nombre réel.

L’avantage est de faire disparaître le i au dénominateur.

Exemples :

Ecrire sous forme algébrique 1/2+3i et 1-5i/2+i

3. Affixe d’un vecteur, d’un barycentre :

 

3.1. Propriété 3 :

Propriété :

Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives ZA et zB .

L’affixe du vecteur AB est zB-ZA.

Remarques :

- Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales.

– Si k est un réel, l’affixe du vecteur ku est kz où z est l’affixe de u.

3.2. Propriété 4 :

Propriété :

Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives zA et zB.

L’affixe du barycentre G des points pondérés (A,k) et (B,k’) (avec k+k’non nul) est :

kzA+k’zB/k+k’

Remarque :

Ce résultat se généralise à plus de deux points.

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