Mathématiques du collège au lycée avec des cours et exercices corrigés de mathematiques.Des sujets du brevet et du bac de maths.

les nombres complexes (partie 1)



I. Notion de nombre complexe :



1. Théorème :



théorème :

Il existe un ensemble noté , appellé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes :

- contient l'ensemble des nombres réels;
L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

- Il existe un nombre complexe noté i tel que i²= - 1 ;

- Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique z=x+iy avec x et y réels.

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Exemples :
z =3 + 5i ; z = - 3,7i ; z = - 7i sont des nombres complexes.

Un peu d'histoire :


En 1777, Euler introduit la lettre i, Gauss en généralisera l'emploi à partir de 1830.

2. Définition :



Définition :

L'écriture z = x+iy avec x et y réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z .
x est la partie réelle de z, notée Re(z).
y est la partie imaginaire de z, notée Im(z) .



Exemple :
z = -3 +5i alors Re(z) = -3 et Im(z) = 5

 



Remarques :

- Les parties réelles et imaginaires sont des nombres réels.
- Lorsque y=0, z est un réel et lorsque x=0, z= iy (y réel) est appelé imaginaire pur.



3. Propriété 1 :



Propriété :

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.


Remarque :

- Cette propriété découle de l'unicité de l'écriture d'un nombre complexe sous forme algébrique.
- En particulier, x et y étant des réels, x+iy=0 si et seulement si x=0 et y=0.


II. Représentation géométrique des nombres complexes :

Soit un répère orthonormé du plan .



1. Définition :



Définition :

A tout nombre complexe z=x+iy avec x et y réels, on associe le point M de coordonnées (x;y).
On dit que
- M est le point image de z
- OM est le vecteur image de z.
- z est l'affixe du point M on note M(z)

Le plan est alors appelé plan complexe, noté P.

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Remarque et vocabulaire :

- Les nombres réels sont les affixes des points de l'axe des abscisses appelé axe des réels .
- Les imaginaires purs sont les affixes des points de l'axe des ordonnées appelé aussi axe des imaginaires purs.
(OU,OV)=pi/2 [2pi], on dit que (O,OU,OV) est un repère direct .



III. Opérations sur les nombres complexes :



1. Addition et multiplication dans C :

1.1. Règles de calculs :


Règles :

L'addition et la multiplication des nombres réels se prolonge aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.


Exemples :

(1+3i)+(-3+2i)=(1-3)+(3i+2i)=-2+5i
(4+i)(-5+3i)=-20+12i-5i+3i²=-20+7i-3=-23+7i (car i² = - 1) .


Remarques :

- Les identités remarquables abordées en classe de 3° restent valables dans C.
- soit z et z' éléments de C, zz'=0 équivaut à z = 0 ou z' = 0.


1.2. Représentations géométrique de la somme :

Propriété :

Deux nombres complexes z et z' ont pour images respectives M et N dans le plan complexe .
z+z' a pour image le point P quatrième sommet du parallélogramme MONP .


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2. Inverse et quotient :

 

2.1. Propriété 2 :

Propriété :

Tout nombre complexe non nul z admet un inverse noté 1/z.
Pour obtenir la forme algébrique de :


((x,y) différent du couple (0;0)).
On multiplie numériquement le numérateur et le dénominateur par x - iy car (x+iy)(x-iy)=x²+y² est un nombre réel.
L'avantage est de faire disparaître le i au dénominateur.

Exemples :

Ecrire sous forme algébrique 1/2+3i et 1-5i/2+i

3. Affixe d'un vecteur, d'un barycentre :

 

3.1. Propriété 3 :

Propriété :

Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives ZA et zB .
L'affixe du vecteur AB est zB-ZA.

Remarques :

- Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales.
- Si k est un réel, l'affixe du vecteur ku est kz où z est l'affixe de u.

3.2. Propriété 4 :

Propriété :

Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives zA et zB.
L'affixe du barycentre G des points pondérés (A,k) et (B,k') (avec k+k'non nul) est :
kzA+k'zB/k+k'

Remarque :

Ce résultat se généralise à plus de deux points.
 

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brou10 Rédigé par brou10 à Herndon Posté le 19/04/2014 à 19:20

.j ai fait un bac C il y a 14 ans.j ai oublié beaucoup de notions.avec mahtovore je recommence à retrouver mes marques.merci
DrKouakou Rédigé par DrKouakou à Abidjan Posté le 18/03/2014 à 20:07

Merci pour votre cour très explicite
ledaleb Rédigé par ledaleb à Tizi Ouzou Posté le 14/02/2014 à 17:47

un site intéressant,pour les élèves de terminal
brahimi Rédigé par brahimi à Algiers Posté le 05/02/2014 à 19:42

JE N'AI PAS COMPRIS QUE VEUX DIRE AVATARD
boumerdes Rédigé par boumerdes à Sour El Ghozlane Posté le 14/11/2013 à 21:15

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