Les fractions.

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cours de mathématiques sur Les fractions.

Cours sur les fractions.

I. Définition et vocabulaire :

1. Définition :

Un fraction est le quotient de deux entiers relatifs écrit sous la forme $\frac{a}{b}$ .

$\frac{a}{b}$ est le nombre tel que $\frac{a}{b}\times b=a$

Lorsque a ou b n’est pas un entier, le quotient est une écriture fractionnaire.

2. Vocabulaire :

- a est le « numérateur » de la fraction .

- b est le « dénominateur » de la fraction .

Exemple :

$\frac{5}{2}$ est le nombre tel que $\frac{5}{2}\times 2=5$ .

3. Egalités de fractions :

Propriété :

La valeur d’une fraction n’est pas modifiée si l’on multiplie ou divise son

numérateur et son dénominateur par le même nombre.

$\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}$ et $\frac{a}{b}=\frac{a\div k}{b\div k}$ ( avec $b\neq 0$ et $k\neq 0$ ).

4. Inverse d'une fraction :

Définition :

L'inverse du nombre a est le nombre b tel que $a\times b=1$ .

L'inverse de la fraction $\frac{a}{b}$ est la fraction $\frac{b}{a}$ .

II. Opérations sur les fractions :

1. Addition de fractions :

Règle n° 1 :

On additionne deux fractions ayant le même dénominateur en additionnant les deux

numérateurs et en conservant le dénominateur commun.

$\frac{a}{c}\dotplus \frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ (avec $c\neq 0$ ).

Exemple :

$\frac{5}{3}\dotplus \frac{11}{3}= \frac{5+11}{3}= \frac{16}{3}$

2. Soustraction de fractions :

Règle n° 2 :

On soustrait deux fractions ayant le même dénominateur en soustrayant les deux

numérateurs et en conservant le dénominateur commun .

$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$ (avec $c\neq 0$ ).

Exemple :

$\frac{15}{6}-\frac{7}{6}=\frac{15-7}{6}=\frac{8}{6}$

Remarque :

Pour additionner ou soustraire deux fractions n’ayant pas le même dénominateur, on réduit d’abord ces deux fractions au même dénominateur (voir I.2.) puis on effectue l’addition ou la soustraction en appliquant la règle 1 ou 2..

Exemples :

$\frac{5}{2}+3=\frac{5}{2}+\frac{3}{1}=\frac{5}{2}+\frac{3\times 2}{1\times 2}=\frac{5}{2}+\frac{6}{2}=\frac{5+6}{2}=\frac{11}{2}$

$\frac{3}{2}-\frac{4}{5}=\frac{3\times 5}{2\times 5}-\frac{4\times 2}{5\times 2}=\frac{15}{10}-\frac{8}{10}=\frac{15-8}{10}=\frac{7}{10}$

3. Multiplication de deux fractions :

Règle n° 3 :

On effectue le produit de deux fractions en multipliant les deux numérateurs entre eux et les deux

dénominateurs entre eux.

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$ (avec $b\neq 0,d\neq 0$ ).

Exemples :

$\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}=\frac{2\times 4}{5\times 3}=\frac{8}{15}$

4. Division de deux fractions :

Règle n° 4 :

Diviser deux fractions revient à multiplier la première par l’inverse de la seconde .

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$

Exemple :

$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{7}}=\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}=\frac{3\times 7}{2\times 5}=\frac{21}{10}$

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