Mathématiques du collège au lycée avec des cours et exercices corrigés de mathematiques.Des sujets du brevet et du bac de maths.

les fonctions affines





 


Dans cette leçon, nous considérerons comme acquis le chapître sur les fonctions linéaires .
On se placera dans un repère .
 

I.Les fonctions affines :



1.Activité d‘introduction :



Considérons un rectangle de longueur x cm et de largeur 3 cm.

cours de maths
Notons y son périmètre.
Nous allons étudier les variations du périmètre en fonction de celles de la longueur.

a. Compléter le tableau de valeur suivant :



Longueur (en cm) 1 2 4 5
Périmètre (en cm) 8 10 14 16




b. Ce tableau représente-t-il une situation de proportionnalité ?

c. Le périmètre est-il une fonction linéaire de la longueur du rectangle ?

d. Donner une relation (égalité) reliant y et x.
On dit que le périmètre (y) est une « fonction affine » de la longueur (x).
Nous avons y =2x+ 6 d‘après la formule du périmètre d‘un rectangle

e. Dans le repère (O, , placer les points A(1,8) B(2 ;10) C(4 ;14) D(5 ;16).

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f. Quelles sont vos remarques ?
Tous les points sont alignés sur une droite.



2. Définition :

Définition :

Soient a et b deux réels (IR) fixés.
La fonction affine f de coefficients a et b est définie par la relation :
A tout nombre x on associe le nombre ax+b.
On note f : x ax+b ( ou f définie par f(x)=ax+b)
Le nombre f(x) est appelé image de x par la fonction f.
 



Exemples :



Dans l‘activité précédente la périmètre est une fonction affine f de la longueur.
En notant x la longueur. O
n a f(x)= 2x+6 avec a=2 et b=6.
Si a = 3 et b = -5 alors la fonction affine est : f : x cours de maths 3x-5
Calculer l‘image des nombres 2 et -3 par f.
f(2)=3x2-5 =6-5=1donc l‘image de 2 par f est 1.
f(-3)=3x(-3)-5=-9-5=-14 Remarque :

Une fonction linéaire est une fonction affine puisqu‘elle s‘écrit f : x ax+0 avec b=0
La réciproque est fausse.
ne fonction affine n‘est pas toujours linéaire.
Contre-exemple : h : x3x+2 est affine mais pas linéaire.



3. Courbe représentative d‘une fonction affine :


Dans l‘activité d‘introduction, nous avons remarqué que la courbe est une droite,
Cette propriété est généralisée pour toutes les fonctions affines. Propriété :

La représentation graphique d‘une fonction affine f : x ax+b est une droite.
Cette droite a pour équation réduite y=ax+b.
a est appelé « le coefficient directeur »
et b « l‘ordonnée à l‘origine ».

Remarque :

b s‘appelle l‘ordonnée à l‘origine car f(0)=ax0+b=b donc la droite passe par le point de coordonnées (0,b) donc par l‘ordonnée à l‘origine.


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Exemple :


Représenter graphiquement f : xcours de maths 3x+2.



Méthode :


le principe est le même que pour les fonctions linéaires.
Sauf que dans ce cas il nous faut deux points.
Prenons deux valeurs de x différentes et calculons leur image.



Valeur de x 0 2
Valeur de f(x)
2 8
Points de la droite A(0;2) B(2;8)


II.Détermination de l‘expression d‘une fonction affine par le calcul :



Méthode :



Le procédé est similaire à celui des fonctions affines sauf que dans ce cas nous avons deux coefficients (a et b) déterminer donc il nous faut deux informations donc les coordonnées de deux points.



Exemple :


Déterminer l‘expression de la fonction f dont la courbe passe par les points A(2,5)
et B (-1 ;-1)

y= ax+b
A appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient l‘équation 5=2a+b.
B appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient l‘équation -1=-1a+b.
Nous sommes donc amenés à résoudre le système suivant :
cours de maths
Après résolution, nous obtenons a =2 et b=1.

Conclusion :
la fonction f recherchée est : f : x cours de maths 2x+1 Remarque :

b s‘appelle l‘ordonnée à l‘origine car f(0)=ax0+b=b donc la droite passe par le point de coordonnées (0,b) donc par l‘ordonnée à l‘origine.

Si le chapître sur les systèmes n‘a pas été étudié,

a est le coefficient de proportionnalité entre les accroissements de
f(x) et ceux de x donc pour tout nombres et distincts
Donc
et b s‘obtient en résolvant ou .


cours de maths

Retrouvons l‘expression de la fonction f par cette méthode :
cours de maths
ensuite
f(cours de maths)=acours de maths+b
5=2a+b
5=2x2+b
b=5-4=1
ou
f(cours de maths)=acours de maths+b
-1=2x(-1)+b
-1=-2+b
b=-1+2=1

Conclusion :
nous retrouvons bien a=2 et b=1 donc f: xcours de maths 2x+1.
 

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webmaster Rédigé par webmaster à Villeurbanne Posté le 27/01/2014 à 22:28

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