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Les droites remarquables du triangle

Cours sur les droites remarquables dans le triangle : hauteur, bissectrice, médiatrice, médiane.

 

I.Médiatrice :

1. Définition :

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.

 Les droites remarquables du triangle

2.Construction de la médiatrice d’un segment :


 Les droites remarquables du triangle

3. Propriétés fondamentale :

Propriété 1 :

Tous les points de la médiatrice sont équidistants des deux extrémités du segment. Réciproquement : tout point M équidistant de deux points B et C est situé sur la médiatrice du segment [BC]

Propriété 2 :

Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point O appelé centre du cercle circonscrit au triangle.


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II. Médiane :

1.Définition :

La médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.


 Les droites remarquables du triangle

2. Propriétés :

Propriété 1 :

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G appelé le centre de gravité du triangle.

Propriété 2 :

Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chacune des médianes en partant du sommet. C’est à dire :


 Les droites remarquables du triangle


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III. Hauteur :

1. Définition :

Dans un triangle, une hauteur est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.


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2. Propriété :

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle.


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IV. Bissectrice :

1.Définition :

Dans un triangle, une bissectrice est une droite qui passe par un sommet et qui partage l’angle correspondant en deux angles de même mesure.


 Les droites remarquables du triangle

2.Construction de la bissectrice d’un angle :

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3. Propriétés :

Propriété 1 :

• Un point de la bissectrice d’un angle d’un triangle est situé à égale distance des côtés de cet angle. • Réciproquement, si un point est à égale distance de deux côtés d’un triangle alors il est sur la bissectrice de l’angle déterminé par ces deux côtés.

Propriété 2 :

Les trois bissectrices d’un triangles sont concourantes en un point I appelé centre du cecrle inscrit au triangle.


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V. Droite d’Euler :

Propriété :

Dans un triangle, les points O (intersection médiatrices), G (intersection des médianes) et H (intersection des hauteurs) sont alignés sur une même droite, cette droite est appelée « droite d’Euler ».

Cas particuliers :

si ABC est un triangle équilatéral alors la droite d’Euler n’existe pas.


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