Mathématiques du collège au lycée avec des cours et exercices corrigés de mathematiques.Des sujets du brevet et du bac de maths.

le calcul littéral et double distributivité





 

I. Développer et réduire une expression.



0. Préambule: règle des signes.



Afin de pouvoir être à l'aise avec le calcul littéral (ou algébrique), il faut impérativement maîtriser la règle des signes.


 

.

Multiplié par + -
+ + -
- - +

Définition :

Développer une expression c'est l'écrire sous la forme d'une somme de termes la plus simple possible.

• on développe les produits,
• on supprime les parenthèses,
• on regroupe les termes de même nature .
 


1. Dimple distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction : (rappels de 5ème )



Propriétés :


Soient a, b, k des nombres quelconques.


k x (a + b) = k x a + k x b ( simple distributivité)

 


k x (a – b) = k x a – k x b (simple distributivité)

 


Exemples :


separation

12 × ; 108
= 12 × ; ( 100 + 8 )
= 12 × ; 100 + 12 × ; 8
= 1200 + 96
= 1296

14 × ; 999
= 14 × ; ( 1000 – 1 )
= 14 × ; 1000 – 14 × ; 1
= 14000 – 14
= 13 986

separation

A = 5 (X + 3)
A = 5xX + 5x3
A = 5X + 15

separation

B = 7 (2X – 3Y)
B = 7x2X- 7x3Y
B = 14X – 21Y



2. Suppression des parenthèses :


a. Parenthèses précédées du signe :



Règle n° 1 :


on supprime des parenthèses précédées du signe + , sans changer l’expression des termes inclus dans la parenthèse.



Exemples :


3 + ( 4,1 + 3 ) = 3 + 4,1 + 3 = - 4,1 .
2 + ( 2 - 10,7 ) = 2 + 2 - 10,7 = - 6,7 .
x + ( - 2,1 - 3,7 ) = x - 2,1 - 3,7 = x - 5,8 .

b. Parenthèses précédées du signe "-" :



Règle n° 2 :


on supprime les parenthèses précédées du signe - ,
à condition de changer les signes des termes inclus dans la parenthèse.



•Exemples :


a - (b + c) = a - b - c
a - (-b + c) = a + b - c
a - (b + c) = a - b - c
3 – ( 4,1 + 3 ) = 3 – 4,1 – 3 = - 4,1
2 ( 2 + 10,7 ) = 2 - 2 - 10,7 = - 10,7
x – ( - 2,1 + 3,7 ) = x + 2,1 – 3,7 = x – 1,6

A = 4x + 28 – (6x² – 2x + 12x – 4)
A = 4x + 28 – 6x² + 2x – 12x + 4
On regroupe les termes de même nature :
A = - 6x² – 6x + 32



B = 3x² + x - (x² + 3x - 1)
B = 3x² + x - x² - 3x + 1
B = 3x² - x² + x - 3x + 1
B = 2x² - 2x + 1



II. Double distributivité :



Proposition :

Soient a, b, c, d quatres nombres. (a + b) (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d (double distributivité)



•Exemples :



• Développer et réduire A = (X + 5)(X + 1)
A = (X + 5)(X + 1)
A = X × ; X + X × ; 1 + 5 × ; X + 5 × ; 1
A = X² + X+ 5X + 5
A = X² + 6X + 5

• Développer et réduire B = (X + 3)(X - 2)
B = (X + 3)(X - 2)


On développe en appliquant la règle des signes .


B = X × ; X - X × ; 2 + 3 × ; X - 3 × ; 2
B = X² -2X+ 3X - 6
B = X² + X - 6

• Développer et réduire B = (2X - 4)(5X + 3)
B = (2X - 4)(5X + 3)
On développe en appliquant la règle des signes.
B = 2X × ; 5X + 2X × ; 3 -4 × ; 5X - 4 × ; 3
B = 10X² - 6X - 20X - 12
B = 10X² - 26X - 12



III. Factoriser une somme de termes



Définition :



Factoriser une somme de termes, c'est la transformer en un produit de facteurs.


Méthode :

On recherche un facteur commun aux différents termes de la somme.

A = 4X + 12 (4 est un facteur commun à 4x et à 12)
On fait apparaître le facteur commun
A = 4 x X + 4 x 3
On applique la règle de la distributivité (dans le sens de la factorisation)
A = 4 x (X + 3)

separation


B = 5a² – 25a
B = 5a x a – 5a x 5
B = 5a (a – 5)

separation


C = (2x + 1)(7x – 3) + (2x + 1)( x + 2)
C = (2x + 1)[(7x – 3) + ( x + 2)]
C = (2x + 1)(7x – 3 + x + 2)
C = (2x + 1)(8x – 1)

separation


D = (5x – 1)(3x – 7) – (5x – 1)(5x – 3)
D= (5x – 1) [(3x – 7) – (5x – 3)]
D = (5x – 1) (3x – 7 – 5x + 3)
D = (5x – 1) (-2x – 4)
 

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sadelia Rédigé par sadelia à Dakar Posté le 02/03/2014 à 11:46

Je comprends mieux:c'est limpide.

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