• cours en quatrième

Le calcul littéral et double distributivité

Cours sur le calcul littéral faisant intervenir la simple et double distributivité.Factoriser et développer des expressions littérales.

 

I. Développer et réduire une expression.

0. Préambule: règle des signes.

Afin de pouvoir être à l’aise avec le calcul littéral (ou algébrique), il faut impérativement maîtriser la règle des signes.

 

Multiplié par + -
+ + -
- - +

 

Définition :

Développer une expression c’est l’écrire sous la forme d’une somme de termes la plus simple possible.

• on développe les produits,

• on supprime les parenthèses,

• on regroupe les termes de même nature .

 

1. Dimple distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction : (rappels de 5ème )

Propriétés :

Soient a, b, k des nombres quelconques.


k x (a + b) = k x a + k x b ( simple distributivité)

 


k x (a – b) = k x a – k x b (simple distributivité)

 

 

Exemples :

 

12 × 108

= 12 × ( 100 + 8 )

= 12 × 100 + 12 × 8

= 1200 + 96

= 1296

14 × 999

= 14 × ( 1000 – 1 )

= 14 × 1000 – 14 × 1

= 14000 – 14

= 13 986

A = 5 (X + 3)

A = 5xX + 5×3

A = 5X + 15

B = 7 (2X – 3Y)

B = 7x2X- 7x3Y

B = 14X – 21Y

2. Suppression des parenthèses :

 

a. Parenthèses précédées du signe :

Règle n° 1 :

on supprime des parenthèses précédées du signe + , sans changer l’expression des termes inclus dans la parenthèse.

Exemples :

 

3 + ( 4,1 + 3 ) = 3 + 4,1 + 3 = – 4,1 .

2 + ( 2 – 10,7 ) = 2 + 2 – 10,7 = – 6,7 .

x + ( – 2,1 – 3,7 ) = x – 2,1 – 3,7 = x – 5,8 .

b. Parenthèses précédées du signe « - » :

Règle n° 2 :

on supprime les parenthèses précédées du signe – ,

à condition de changer les signes des termes inclus dans la parenthèse.

•Exemples :

 

a – (b + c) = a – b – c

a – (-b + c) = a + b – c

a – (b + c) = a – b – c

3 – ( 4,1 + 3 ) = 3 – 4,1 – 3 = – 4,1

2 ( 2 + 10,7 ) = 2 – 2 – 10,7 = – 10,7

x – ( – 2,1 + 3,7 ) = x + 2,1 – 3,7 = x – 1,6

A = 4x + 28 – (6x² – 2x + 12x – 4)

A = 4x + 28 – 6x² + 2x – 12x + 4

On regroupe les termes de même nature :

A = – 6x² – 6x + 32

B = 3x² + x – (x² + 3x – 1)

B = 3x² + x – x² – 3x + 1

B = 3x² – x² + x – 3x + 1

B = 2x² – 2x + 1

II. Double distributivité :

Proposition :

Soient a, b, c, d quatres nombres. (a + b) (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d (double distributivité)

•Exemples :

• Développer et réduire A = (X + 5)(X + 1)

A = (X + 5)(X + 1)

A = X × X + X × 1 + 5 × X + 5 × 1

A = X² + X+ 5X + 5

A = X² + 6X + 5

• Développer et réduire B = (X + 3)(X – 2)

B = (X + 3)(X – 2)

On développe en appliquant la règle des signes .

B = X × X – X × 2 + 3 × X – 3 × 2

B = X² -2X+ 3X – 6

B = X² + X – 6

• Développer et réduire B = (2X – 4)(5X + 3)

B = (2X – 4)(5X + 3)

On développe en appliquant la règle des signes.

B = 2X × 5X + 2X × 3 -4 × 5X – 4 × 3

B = 10X² – 6X – 20X – 12

B = 10X² – 26X – 12

III. Factoriser une somme de termes

Définition :

Factoriser une somme de termes, c’est la transformer en un produit de facteurs.

 

Méthode :

 

On recherche un facteur commun aux différents termes de la somme.

A = 4X + 12 (4 est un facteur commun à 4x et à 12)

On fait apparaître le facteur commun

A = 4 x X + 4 x 3

On applique la règle de la distributivité (dans le sens de la factorisation)

A = 4 x (X + 3)

B = 5a² – 25a

B = 5a x a – 5a x 5

B = 5a (a – 5)

C = (2x + 1)(7x – 3) + (2x + 1)( x + 2)

C = (2x + 1)[(7x – 3) + ( x + 2)]

C = (2x + 1)(7x – 3 + x + 2)

C = (2x + 1)(8x – 1)

D = (5x – 1)(3x – 7) – (5x – 1)(5x – 3)

D= (5x – 1) [(3x – 7) – (5x – 3)]

D = (5x – 1) (3x – 7 – 5x + 3)

D = (5x – 1) (-2x – 4)

 

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