le calcul littéral et double distributivité





 

I. Développer et réduire une expression.



0. Préambule: règle des signes.



Afin de pouvoir être à l'aise avec le calcul littéral (ou algébrique), il faut impérativement maîtriser la règle des signes.


 

.

Multiplié par + -
+ + -
- - +

Définition :

Développer une expression c'est l'écrire sous la forme d'une somme de termes la plus simple possible.

• on développe les produits,
• on supprime les parenthèses,
• on regroupe les termes de même nature .
 


1. Dimple distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction : (rappels de 5ème )



Propriétés :


Soient a, b, k des nombres quelconques.


k x (a + b) = k x a + k x b ( simple distributivité)

 


k x (a – b) = k x a – k x b (simple distributivité)

 


Exemples :


separation

12 × ; 108
= 12 × ; ( 100 + 8 )
= 12 × ; 100 + 12 × ; 8
= 1200 + 96
= 1296

14 × ; 999
= 14 × ; ( 1000 – 1 )
= 14 × ; 1000 – 14 × ; 1
= 14000 – 14
= 13 986

separation

A = 5 (X + 3)
A = 5xX + 5x3
A = 5X + 15

separation

B = 7 (2X – 3Y)
B = 7x2X- 7x3Y
B = 14X – 21Y



2. Suppression des parenthèses :


a. Parenthèses précédées du signe :



Règle n° 1 :


on supprime des parenthèses précédées du signe + , sans changer l’expression des termes inclus dans la parenthèse.



Exemples :


3 + ( 4,1 + 3 ) = 3 + 4,1 + 3 = - 4,1 .
2 + ( 2 - 10,7 ) = 2 + 2 - 10,7 = - 6,7 .
x + ( - 2,1 - 3,7 ) = x - 2,1 - 3,7 = x - 5,8 .

b. Parenthèses précédées du signe "-" :



Règle n° 2 :


on supprime les parenthèses précédées du signe - ,
à condition de changer les signes des termes inclus dans la parenthèse.



•Exemples :


a - (b + c) = a - b - c
a - (-b + c) = a + b - c
a - (b + c) = a - b - c
3 – ( 4,1 + 3 ) = 3 – 4,1 – 3 = - 4,1
2 ( 2 + 10,7 ) = 2 - 2 - 10,7 = - 10,7
x – ( - 2,1 + 3,7 ) = x + 2,1 – 3,7 = x – 1,6

A = 4x + 28 – (6x² – 2x + 12x – 4)
A = 4x + 28 – 6x² + 2x – 12x + 4
On regroupe les termes de même nature :
A = - 6x² – 6x + 32



B = 3x² + x - (x² + 3x - 1)
B = 3x² + x - x² - 3x + 1
B = 3x² - x² + x - 3x + 1
B = 2x² - 2x + 1



II. Double distributivité :



Proposition :

Soient a, b, c, d quatres nombres. (a + b) (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d (double distributivité)



•Exemples :



• Développer et réduire A = (X + 5)(X + 1)
A = (X + 5)(X + 1)
A = X × ; X + X × ; 1 + 5 × ; X + 5 × ; 1
A = X² + X+ 5X + 5
A = X² + 6X + 5

• Développer et réduire B = (X + 3)(X - 2)
B = (X + 3)(X - 2)


On développe en appliquant la règle des signes .


B = X × ; X - X × ; 2 + 3 × ; X - 3 × ; 2
B = X² -2X+ 3X - 6
B = X² + X - 6

• Développer et réduire B = (2X - 4)(5X + 3)
B = (2X - 4)(5X + 3)
On développe en appliquant la règle des signes.
B = 2X × ; 5X + 2X × ; 3 -4 × ; 5X - 4 × ; 3
B = 10X² - 6X - 20X - 12
B = 10X² - 26X - 12



III. Factoriser une somme de termes



Définition :



Factoriser une somme de termes, c'est la transformer en un produit de facteurs.


Méthode :

On recherche un facteur commun aux différents termes de la somme.

A = 4X + 12 (4 est un facteur commun à 4x et à 12)
On fait apparaître le facteur commun
A = 4 x X + 4 x 3
On applique la règle de la distributivité (dans le sens de la factorisation)
A = 4 x (X + 3)

separation


B = 5a² – 25a
B = 5a x a – 5a x 5
B = 5a (a – 5)

separation


C = (2x + 1)(7x – 3) + (2x + 1)( x + 2)
C = (2x + 1)[(7x – 3) + ( x + 2)]
C = (2x + 1)(7x – 3 + x + 2)
C = (2x + 1)(8x – 1)

separation


D = (5x – 1)(3x – 7) – (5x – 1)(5x – 3)
D= (5x – 1) [(3x – 7) – (5x – 3)]
D = (5x – 1) (3x – 7 – 5x + 3)
D = (5x – 1) (-2x – 4)
 

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sadelia Rédigé par sadelia à Dakar Posté le 02/03/2014 à 11:46

Je comprends mieux:c'est limpide.


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