Mathématiques du collège au lycée avec des cours et exercices corrigés de mathematiques.Des sujets du brevet et du bac de maths.

le barycentre

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Un lieu géométrique

Exercice :

[AB] est un segment de longueur 10 cm  et  G bar {(A ; 2) , (B ; 3)}

1. Développez et réduire  

2. Démontrez alors  que pour tout point M du plan on a   2MA² +  3MB² = 5MG² + 120

3. Déterminez alors et représentez l’ensemble des points M du plan tels que  2MA² +  3MB² =  245


Un lieu géométrique : correction de l'exerciceUn lieu géométrique : correction de l'exercice

Construction de barycentre et positionnement

Exercice :

 

On considère un triangle ABC et l’on désigne par G le barycentre de (A ; 1), (B ; 4) et (C ; - 3).
 
1. Construire le barycentre I de (B ; 4) et (C ;  - 3).
 
2. Montrer que  .
 
3. En déduire la position de G sur (AI).
 
 

Construction de barycentre et positionnement : correction de l'exerciceConstruction de barycentre et positionnement : correction de l'exercice

Barycentre et carré

Exercice :

 

Soit ABCD un carré et K le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; - 1), (C ; 2) et (D ; 1).
 
On note I le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; - 1), et J celui de (C ; 2) et (D ; 1).
 
1.  Placer I et J en justifiant.
 
2. Réduire l’écriture des vecteurs suivants :
 
 
En déduire que K est le barycentre de (I ; 1) et (J ; 3).
 
3. Placer K en justifiant.
 
 

Barycentre et carré : correction de l'exerciceBarycentre et carré : correction de l'exercice

Barycentre et lieu de points.

Exercice :

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm.Soit I le milieu de [BC].

1. Placer le point F tel que \vec{BF}=-\vec{BA} et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l'on déterminera.

2. P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :

\frac{1}{2}\vec{PB}+\frac{1}{2}\vec{PC}

-\vec{PA}+2\vec{PB}

2\vec{PB}-2\vec{PA}

 

3. Déterminer  et représenter l'ensemble des points M du plan vérifiant :

\left\| \frac{1}{2}\vec{MB}+\frac{1}{2}\vec{MC}| \right \|=\left\|-\vec{MA}+2\vec{MB}| \right \|

4. Déterminer  et représenter l'ensemble des points N du plan vérifiant :

\left\| \vec{NB}+\vec{NC}| \right \|=\left\|2\vec{NB}-2\vec{NA}| \right \|


Barycentre et lieu de points. : correction de l'exerciceBarycentre et lieu de points. : correction de l'exercice

Barycentre et placement de points

Exercice :

 

Soit ABC un triangle et G un point vérifiant :
 
 
Le point G est-il le barycentre des points pondérés (A ; 5), (B ; 1) et (C ; 3) ? Justifier.
 

Barycentre et placement de points : correction de l'exerciceBarycentre et placement de points : correction de l'exercice

Construction de barycentre dans un triangle

Exercice :

 

ABC est un triangle.
 
1.  G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 3). Construire le point G. Expliquer.
 
2.  G ' est le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; - 3). Construire le point G ' . Expliquer.
 
3.  Démontrer que (AG') est parallèle à (BC).
 

Construction de barycentre dans un triangle : correction de l'exerciceConstruction de barycentre dans un triangle : correction de l'exercice

Isobarycentre, centre de gravité et repère

Exercice :

 

Dans un repère ,
1.Placer les points A(2 ; 1), B( - 1 ; 5), C(5 ; 7) et G(1 ;  ).
 
2.  Déterminer les coordonnés de l’isobarycentre I des points B et C.
 
3. Déterminer les coordonnées du centre de gravité H du triangle ABC.
 
4. Existe-t-il un réel k tel que G soit barycentre de (A ; 1) et (B ; k) ? Justifier.
 
 

Isobarycentre, centre de gravité et repère : correction de l'exerciceIsobarycentre, centre de gravité et repère : correction de l'exercice

Barycentres confondus

Exercice :

 

B est le milieu de [AC].
Démontrer que le barycentre de (A ; 1) et (C ; 3) est confondu avec celui de (B ; 2) et (C ; 2).
 
 

Barycentres confondus : correction de l'exerciceBarycentres confondus : correction de l'exercice

Construction d'un barycentre

Exercice :

 

ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1), (C ; 3) et (D ; 3).
 
Construire le point G. Expliquer.
 

Construction d'un barycentre : correction de l'exerciceConstruction d'un barycentre : correction de l'exercice

Barycentre - alignement.

Exercice :

Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A,-2) (B,-2) (C,15).

Démontrer que G,C et E sont alignés .


Barycentre - alignement. : correction de l'exerciceBarycentre - alignement. : correction de l'exercice

Barycentre - classique.

Exercice :

ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A,1) (B,1) (C,3) (D,3).

Construire le point G. (Argumenter)

 


Barycentre - classique. : correction de l'exerciceBarycentre - classique. : correction de l'exercice

Centre de gravité et barycentre

Exercice :

 

Soit ABC un triangle,  A' , B' , et C'  les milieux des côtés opposés à A, B et C respectivement, M un point donné.

On note A1 , B1 et C1 les symétriques du point M  par rapport à A' , B' , et C' .

On désigne par M' barycentre des points  (A, 1) (B,1) (C,1) et (M,-1)

1.      Montrer que les droites (AA1) ; (BB1) et (CC1) sont concourantes en M '.

2.      Soit G le centre de gravité de ABC. Montrer que M ' , M et G sont alignés et préciser la position de M ' sur la droite (MG).


Centre de gravité et barycentre : correction de l'exerciceCentre de gravité et barycentre : correction de l'exercice

Ensemble de points et barycentre

 

Exercice :

A, B et C sont 3 points  du plan non alignés et  k  un nombre réel quelconque.

I  bar { (B ;1), (C ;2)} et  G  le barycentre de (A, k), (B, 1- k) et (C, 2)

1. Exprimer   en fonction de  ,  et  .

2. Simplifier l’expression obtenue au 1. et en déduire l’ensemble (E) des points G lorsque k décrit .

3. Représentez  graphiquement  (E)  dans le cas  AB = 5 cm, BC = 6 cm , AC = 5,5 cm


Ensemble de points et barycentre : correction de l'exerciceEnsemble de points et barycentre : correction de l'exercice

Barycentre et repère

Exercice :

 

1.  Placer dans un repère les points A(1 ; 2), B( - 3 ; 4) et C( - 2 ; 5).
 
Soit G le barycentre des points pondérés (A ; 3), (B ; 2) et (C ; - 4).
 
2.  Quelles sont les coordonnées de G? Placer G.
 
3.  La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? Justifier.
 
 

Barycentre et repère : correction de l'exerciceBarycentre et repère : correction de l'exercice

Barycentre et repère.

Exercice :

1. Placer dans un repère les points A(1,2); B(- 3 , 4) et C(- 2 , 5).

Soit G le barycentre des points pondérés (A,3), (B,2) et (C, - 4).

2. Quelles sont les coordonnées de G ?Placer G.

3. La droite (BG) passe-t-elle par l'origine du repère ? (Justifier)


Barycentre et repère. : correction de l'exerciceBarycentre et repère. : correction de l'exercice



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