le barycentre

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Triangle équilatéral et droites parallèles

Exercice :

 

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 cm.
 
1) Placer, en justifiant, le barycentre Z de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; - 3).
 
2) Montrer que les droites (AZ) et (BC) sont parallèles.
 

Triangle équilatéral et droites parallèles : correction de l'exerciceTriangle équilatéral et droites parallèles : correction de l'exercice

Ensemble de points et barycentre

 

Exercice :

A, B et C sont 3 points  du plan non alignés et  k  un nombre réel quelconque.

I  bar { (B ;1), (C ;2)} et  G  le barycentre de (A, k), (B, 1- k) et (C, 2)

1. Exprimer   en fonction de  ,  et  .

2. Simplifier l’expression obtenue au 1. et en déduire l’ensemble (E) des points G lorsque k décrit .

3. Représentez  graphiquement  (E)  dans le cas  AB = 5 cm, BC = 6 cm , AC = 5,5 cm


Ensemble de points et barycentre : correction de l'exerciceEnsemble de points et barycentre : correction de l'exercice

Barycentre et placement de points

Exercice :

 

Soit ABC un triangle et G un point vérifiant :
 
 
Le point G est-il le barycentre des points pondérés (A ; 5), (B ; 1) et (C ; 3) ? Justifier.
 

Barycentre et placement de points : correction de l'exerciceBarycentre et placement de points : correction de l'exercice

Un lieu géométrique

Exercice :

[AB] est un segment de longueur 10 cm  et  G bar {(A ; 2) , (B ; 3)}

1. Développez et réduire  

2. Démontrez alors  que pour tout point M du plan on a   2MA² +  3MB² = 5MG² + 120

3. Déterminez alors et représentez l’ensemble des points M du plan tels que  2MA² +  3MB² =  245


Un lieu géométrique : correction de l'exerciceUn lieu géométrique : correction de l'exercice

Barycentres confondus

Exercice :

 

B est le milieu de [AC].
Démontrer que le barycentre de (A ; 1) et (C ; 3) est confondu avec celui de (B ; 2) et (C ; 2).
 
 

Barycentres confondus : correction de l'exerciceBarycentres confondus : correction de l'exercice

Barycentre - alignement.

Exercice :

Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A,-2) (B,-2) (C,15).

Démontrer que G,C et E sont alignés .


Barycentre - alignement. : correction de l'exerciceBarycentre - alignement. : correction de l'exercice

Démontrer que des droites sont concourantes

Exercice :

 

ABC est un triangle.
On considère le barycentre A' de (B ; 2) et (C ; - 3), le barycentre B ' de (A ; 5) et (C ; - 3)
et le barycentre C ' de (A ; 5) et (B ; 2).
 
Démontrer que les droites (AA '), (BB ') et (CC ') sont concourantes.
 
 
 

Démontrer que des droites sont concourantes : correction de l'exerciceDémontrer que des droites sont concourantes : correction de l'exercice

Démontrer que des points sont alignés

Exercice :

 

Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A ; - 2), (B ; - 2) et (C ; 15).
 
Démontrer que G, C et E sont alignés.
 
 

Démontrer que des points sont alignés : correction de l'exerciceDémontrer que des points sont alignés : correction de l'exercice

Ensemble de points et barycentres

Exercice :

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm. Soit I le milieu de [BC].

1. Placer le point F tel que  .

et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l’on déterminera.

2.  P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :
 
 
 
3. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :
 
 
 
4. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :
 
 
 
 

Ensemble de points et barycentres : correction de l'exerciceEnsemble de points et barycentres : correction de l'exercice

Barycentre et carré

Exercice :

 

Soit ABCD un carré et K le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; - 1), (C ; 2) et (D ; 1).
 
On note I le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; - 1), et J celui de (C ; 2) et (D ; 1).
 
1.  Placer I et J en justifiant.
 
2. Réduire l’écriture des vecteurs suivants :
 
 
En déduire que K est le barycentre de (I ; 1) et (J ; 3).
 
3. Placer K en justifiant.
 
 

Barycentre et carré : correction de l'exerciceBarycentre et carré : correction de l'exercice

Construction d'un barycentre

Exercice :

 

ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1), (C ; 3) et (D ; 3).
 
Construire le point G. Expliquer.
 

Construction d'un barycentre : correction de l'exerciceConstruction d'un barycentre : correction de l'exercice

Barycentre et paramètre

Exercice :

 

ABC un triangle ; à tout réel m, on associe le point Gm barycentre de (A ; 2) ; (B ; m) et (C ; - m).

On note O le milieu de [BC].

1.      Expliquer pourquoi Gm existe toujours et démontrer que, lorsque m  décrit  ,  Gm décrit  une droite D que vous préciserez.

2.      a) Construisez G2 et G-2 . Avec AB= 4cm , AC = 3cm et  BC = 6cm

b) On suppose m différent de 2 et -2.

Soit Gm un point de D distinct de A, G2 etG-2 .

Démontrer que (BGm) coupe  (AC) en un point noté I et que (CGm) coupe (AB) en un point noté J.

3.      Dans le repère ,

calculez en fonction de m  les coordonnées de I et J.

Déduisez-en que les points O, I et J sont alignés.

(On pourra utiliser la condition analytique de colinéarité de 2 vecteurs)


Barycentre et paramètre : correction de l'exerciceBarycentre et paramètre : correction de l'exercice

Démontrer que des droites sont parallèles

Exercice :

 

ABC est un triangle. Soit G le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; - 3).
 
Démontrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles.
 
 

Démontrer que des droites sont parallèles : correction de l'exerciceDémontrer que des droites sont parallèles : correction de l'exercice

Isobarycentre et quadrilatère

Exercice :

 

ABCD est un quadrilatère.
On note G son isobarycentre.
Le but de cet exercice est de préciser la position de G.
 
1) On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].
 
Montrer que G est le barycentre de I et J munis de coefficients que l’on précisera.
 
2) Conclure et faire une figure.
 

Isobarycentre et quadrilatère : correction de l'exerciceIsobarycentre et quadrilatère : correction de l'exercice

Centre de gravité et barycentre

Exercice :

 

Soit ABC un triangle,  A' , B' , et C'  les milieux des côtés opposés à A, B et C respectivement, M un point donné.

On note A1 , B1 et C1 les symétriques du point M  par rapport à A' , B' , et C' .

On désigne par M' barycentre des points  (A, 1) (B,1) (C,1) et (M,-1)

1.      Montrer que les droites (AA1) ; (BB1) et (CC1) sont concourantes en M '.

2.      Soit G le centre de gravité de ABC. Montrer que M ' , M et G sont alignés et préciser la position de M ' sur la droite (MG).


Centre de gravité et barycentre : correction de l'exerciceCentre de gravité et barycentre : correction de l'exercice




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