Cours maths 2de

Position relative d’une droite et d’un plan dans l’espace

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Cours de géométrie dans l’espace en classe de seconde (2de) sur la géométrie dans l’espace ainsi que les solides usuels (parallélépipède rectangle, pyramide, cône de révolution, cylindre de révolution, sphère et boule).Etude de la position relative de droites et de plans dans l’espace.

Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre
◮ Connaître les formules d’aires des figures usuelles
◮ Connaître les formules de volumes des solides usuels
◮ Se repérer dans une figure en perspective cavalière
◮ Construire un patron d’un solide usuel

I. Les solides usuels

Définition :
Un solide est un objet en relief.
On ne peut pas le tracer en vraie grandeur sur une feuille de papier plane.

Remarques :
\bigstar Un patron permet de fabriquer le solide par pliage;
\bigstar La perspective cavalière permet de représenter le solide sur une feuille papier en donnant
l’impression de la 3D.

patron-3d

Géométrie dans l'espace

solide-2

II. Droites et plans

1. Qu’est-ce qu’un plan ?

Propriété :
Soit A, B, C trois points de l’espace distincts et non alignés.
\bigstar Pour déterminer un plan, il suffit de donner 3 points non alignés ou 2 droites sécantes ou 2 droites parallèles (non confondues).
\bigstar Le plan noté (ABC) est constitué par les points des droites passant par A et parallèles ou sécantes à la droite (BC).

definition-plan

Remarque :

Dans chaque plan de l’espace, on peut appliquer tous les théorèmes de géométrie
plane.

Exemple :

Paraléllépipède rectangle ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que :
• AB = 7 cm • I est le milieu de [AB]
• AD = 6 cm • J est le milieu de [AD]
1) Nommer le plan colorié.
2) Calculer la longueur BD.

Correction
1) Le plan colorié coupe les arêtes du pavé en I, J, K et L, (I JK) est donc un nom possible.
2) La face ABCD du pavé est un rectangle donc le triangle ABD est rectangle en A.
D’après le théorème de Pythagore :
BD2 = BA2 + AD2 = 72 + 62 = 49 + 36 = 85.
Une longueur est toujours positive donc BD = \sqrt{85} cm.

2. Positions relatives de deux droites

Définition :
Deux droites incluses dans un même plan sont dites coplanaires.
Propriété :
Deux droites de l’espace sont soit coplanaires soit non coplanaires :

position-relative

3. Positions relatives de deux plans en géométrie dans l’espace

Propriété :

position-relatives-deux-plans

\bigstar Un plan coupe deux plans parallèles suivant deux droites parallèles.
\bigstar Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont    respectivement parallèles à deux droites sécantes de l’autre.

Remarque :

Deux plans confondus sont considérés comme parallèles.

4. Positions relatives d’une droite et d’un plan

Propriété :

position-plan-droite

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite du plan.



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