Cours maths 2de

Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles

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Cours sur les généralités sur les fonction numériques et les fonctions usuelles (carrée,affine,linéaire,inverse,racine carrée).

I. Fonctions affines

1.   définition

Définition :

Soient a et b deux réels donnés. Lorsqu’à chaque réel x, on associe le réel  ax + b, on définit une fonction affine f et on note   ou la fonction f définie par  .

Exemple : les fonctions  f et g respectivement définies sur par  f(x) = 3x + 5  et  g(x) = 2x – 7 sont des fonctions affines.

Remarque :

·  Lorsque b = 0, la fonction est dite linéaire, comme par exemple,  f(x) = -3x.

·  Lorsque a = 0, la fonction est dite constante, comme par exemple, f(x) = 3, pour tout réel x.

Représentation graphique d’une fonction affine :

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction

affine   est une droite. On dit que cette droite a pour équation  y = ax + b  et que a est son coefficient directeur, b son ordonnée à l’origine.

Cette droite passe par le point P(0 ; b).

conséquences :

·  Dans le cas d’une fonction linéaire , la droite d’équation y = ax passe par l’origine du repère. L’image est proportionnelle à la variable.

·  Dans le cas d’une fonction constante, la droite d’équation  y = b est parallèle à l’axe des abscisses. L’image est constamment égale à b.

2. fonctions affines et taux de variation

Théorème :

Soit  f une fonction affine définie par f(x) = ax + b.

Alors, pour tous u et v tels que .

Ce rapport est appelé taux de variation de f entre u et v; il traduit la proportionnalité des écarts des images de la fonction par rapport aux variables.

Exercice : Dans un repère, les points A et B ont pour coordonnées (-4 ; -1) et (2 ; 2).

Quelle est la fonction affine représentée par la droite (AB) ? Deux méthodes sont demandées.

3. Sens de variation

Théorème :

Soit  une fonction affine.

Si  a > 0  alors  f est croissante sur .

Si  a = 0  alors  f est constante sur .

Si  a < 0  alors  f est décroissante sur .

Démonstration :

Soient u et v deux nombres réels tels que u < v.

f(u) – f(v) = au + b – (av + b) = a(u – v)

Si a est positif, alors  a  > 0  et comme  uv < 0, on déduit que  f(u) – f(v) < 0 puis f(u) < f(v)

Donc  f est strictement croissante sur [0 ; +  [.

Si a est négatif, alors a  < 0  et comme  uv < 0, on déduit que  f(u) – f(v) > 0 puis f(u) > f(v)

Donc  f est strictement croissante sur [0 ; +  [.

Si a = 0 alors f(u) = b pour tout u et f est constante.

II La fonction carrée

Il s’agit de la fonction  f définie sur  par  f(x) = x2.

1.Tracé point par point de la courbe représentative de f.

On peut alors tracer la courbe représentative de f.

La courbe représentative de f s’appelle une parabole.

2. Etude de la parité de f

Soit , alors.

Comparer .

On dit que  f est une fonction paire.

Graphiquement, cela signifie que les points et  qui sont des points de la courbe représentative de f sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

La représentation graphique de f admet donc l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

3. Sens de variation de  f

D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de f.

 –                 0                     + 

            f est strictement croissante sur [0 ; +  [.f est strictement décroissante sur ] –  ; 0].

Par le calcul : Soient a et b deux nombres réels tels que a < b.

f(a) – f(b) = a² – b² = (a + b)(ab)

Si a et b sont positifs ou nuls, alors  a + b > 0  et comme  ab < 0, on déduit que  f(a) – f(b) < 0

Donc  f est strictement croissante sur [0 ; +  [.

Si a et b sont négatifs ou nuls, alors  a + b < 0  et comme  ab < 0, on déduit que  f(a) – f(b) > 0

Donc  f est strictement décroissante sur ] –  ; 0].

III La fonction inverse

Il s’agit de la fonction g définie sur = ] –  ; 0[ ∪ ]0 ; +  [ par  .

 

1. Tracé point par point de la courbe représentative de g

On peut alors tracer la courbe représentative de g.

La courbe représentative de g s’appelle une hyperbole.

2. Etude de la parité de g

Soit  alors .

Comparer g(x) et g(-x) : .

On dit que g est une fonction impaire.

Graphiquement, cela signifie que les points et  qui sont des points de la courbe représentative de g sont symétriques par rapport à l’origine du repère.

La représentation graphique de g admet donc l’origine du repère pour centre de symétrie.

3.   sens de variation de g

D’après le graphique, on peut établir le tableau de variation de g.

Tableau de variation

           g est strictement décroissante sur ]-  ; 0[ et sur ]0 ; +  [.

Démonstration :

si a et b sont deux réels non nuls tels que a < b.

Si a et b sont strictement positifs, ab > 0 et comme ba > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0

Donc g est strictement décroissante sur ]0 ; +  [.

Si a et b sont strictement négatifs, ab < 0 et comme b a > 0, on déduit que g(a) – g(b) > 0

Donc g est strictement décroissante sur ]-  ; 0[.



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