Exercices maths terminale S et ES

Argument et module d’un nombre complexe

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La série 4 des exercices de maths sur l’argument et le module de nombres complexes en terminale S.Vous pouvez également télécharger en PDF ces différents exercices corrigés gratuitement afin de pouvoir les imprimer librement.

Etude d’une application

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice.

 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct, le point A a pour affixe i.
On nomme f l’application qui, à tout point M d’affixe z avec associe le point M′
d’affixe z′’ telle que :
Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M′
connaissant le point M.
1) Un exemple.
On considère un point K d’affixe 1 + i.
a) Placer le point K.
b) Déterminer l’affixe du point K’ image de K par f.
c) Placer le point K′.
2) Des points pour lesquels le problème ne se pose pas.
a) On considère le point L d’affixe  .
 Déterminer son image L′  par f. Que remarque-t-on ?
b) Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image.
Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes.
3) Un procédé de construction.
On nomme G l’isobarycentre des points A, M, et M′ , et g l’affixe de G.
a) Vérifier l’égalité .
b) En déduire que si M est un point du cercle de centre A de rayon r, alors G est un point
du cercle de centre O de rayon  .
c) Démontrer que .
d) Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon  .
On nomme D′   l’image de D par f.
Déduire des questions précédentes la construction du point D′
et la réaliser sur la figure annexe .
Document annexe :

Corrigé de cet exercice

Affirmations vraies ou fausses

L’exercice comporte quatre affirmations repérées par les lettres a), b), c) et d). Indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse.

Soient A le point d’affixe a=1-i et B le point d’affixe b=2i-3.

A tout point M d’affixe z, avec z différent de b, on associe le point M’ d’affixe:

Z=\frac{z-1+i }{z+3-2i}.

a) L’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel est le segment [AB].

b)Pour tout z différent de -3+2i et de -3-2i, on obtient la forme algébrique de Z par le calcul:

\frac{(z-1+i)(z+3+2i) }{(z+3-2i)(z+3+2i)}.

c)L’ensemble des point M’ d’affixe z tels que M’ soit un point de l’axe des ordonnées et le cercle d’équation (x+1)^2 + (y-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4} , sauf le point B.

d) Soit z0 une solution de l’équation Z=\frac{ z-1+i }{z+3-2i}=i (on admet l’existence d’une telle solution).

Le point M0 d’affixe z0 est un point de la médiatrice de [AB]

Corrigé de cet exercice

Complexes, argument et module

Le plan complexe est muni du repère othonormal direct (O,u,v) unité graphique 2 cm.
On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a=1 et b=-1
On considére l’application f qui, a tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M’ d’affixe z’ définie par   .
1. Déterminer les points invariants de f.

2. a) montrer que, pour tout nombre complexe z différent de -1, (z'-1)(z+1)=-2.
b) En déduire une relation entre |z'-1| et |z+1|, puis entre arg (z’-1) et arg (z+1), pour tout nombre complexe z diffèrent de -1.

3. Montrer que si M appartient  au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M’ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.

4.Soit le point P d’affixe P=-2+i\sqrt{3}.
a) Déterminer la forme trigonométrique de (p+1)
b) montrer que le point P appartient au cercle (C)

Corrigé de cet exercice

Problème

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v) (unité graphique: 4cm).

On note A, B et C les points d’affixes respectives 2 i, – 1 et i.

 On considère l’application f qui, à tout point M diffèrent de A et d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z ’ tel que :
z'=\frac{z+1}{z-2i}
1.
a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
b. Déterminer l’affixe du point C’, image de C par f . Quelle est la nature du quadrilatère ACBC’ ?
c. Montrer que le point C admet un unique antécédent par f , que l’on appellera C ». Quelle est la nature du triangle BCC » ?
2. Donner une interprétation géométrique du module et d’un argument de z ’ (lorsque celui-ci existe).
3.Déterminer en utilisant la question précédente, les ensembles suivants :
a. l’ensemble E_0 des point M dont les images par f ont pour affixe un nombre réel strictement négatif;
b. l’ensemble E_1 des point M dont les images par f ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul;
c. l’ensemble E_2 des points M dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1.

Corrigé de cet exercice

info Continuez de réviser avec la série 2 des exercices sur les nombres complexes ou la série 1 et série 3 pour le niveau terminale S.



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