Des exercices de maths en quatrième (4ème) sur le calcul littéral.

L’objectif est de développer et de factoriser des expressions littérales puis d’utiliser les propriétés de simple et double distributivité afin de développer correctement des expressions algèbriques.

Exercices sur la propriété de la double distributivité

 

Introduction au calcul littéral et géométrie

Une piscine rectangulaire mesure 10 m sur 5 m.

On désire aménager tout autour une plage.

Cependant cette plage ne doit pas avoir une superficie trop importante pour ne pas coûter trop cher à la collectivité, mais ne doit pas être trop petite pour ne pas pénaliser les non baigneurs.

On estime que la superficie de la plage doit être comprise entre 110 et 120 mathematiques .

On décide alors de faire un avant-projet de piscine, en notant mathematiques le nombre désignant la largeur de la plage.

Le nombre mathematiques devient alors ce que l’on appelle une  inconnue .

Rectangle et calcul littéral

 

1. Calculer l’aire de cette plage dans le cas où  mathematiques , puis dans le cas où mathematiques, et enfin mathematiques

2. Dans chacun des cas précédents, peut-on lancer le projet de construction ? Pourquoi ?

3. Quelle méthode pouvez-vous proposer pour trouver une largeur de plage satisfaisante ?

Pour accélérer la recherche de cette largeur  idéale, on essaie d’exprimer en fonction du nombre mathematiques, l’aire de cette plage.

Deux équipes vont y travailler :

– Calculer l’aire du rectangle ABCD, à laquelle on retranche l’aire de la piscine.

– Assembler les éléments de la plage comme indiqué sur le croquis ci-dessous.

4. Retrouver les expressions obtenues par chacune des deux équipes.

5. Proposer une largeur possible de plage pour lancer le projet.

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Activité d’introduction au calcul littéral

On représente par étape des maisons à l’aide d’allumettes comme cela est fait ci-dessous.

 

 

1. Combien faudra-t-il d’allumettes aux étapes n°4 et n°10 ? Répondre sans faire de dessin.
2. Vérifier si vous aviez trouvé le bon nombre
3.  Combien d’allumettes faudra-t-il à l’étape n° 2007 ?
4.  Comment exprimer le nombre d’allumettes pour une étape quelconque ?

 

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Introduction au calcul littéral

 Le professeur a écrit au tableau l’exercice suivant :
Calculer
23 × 7 + 3 ;
23 × 8 + 3;
23 × 9 + 3;
23 × 10 + 3
23 × 11 + 3;
23 × 12 + 3;
23 × 13 + 3;
23 × 14 + 3
Un camarade est absent.
Quelle consigne lui donner au téléphone, sans lui dicter tous les calculs.
La consigne est bonne si le camarade sait exactement ce qu’il doit faire.

 

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Calcul d’une vitesse moyenne

1) Un randonneur parcourt 5 km en 1 heure et 15 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?
 Justifier
2) Une voiture roule à la vitesse de 50 km/h. En combien de temps parcourt-elle 110 kilomètres ? Donner
le résultat en heures et minutes.

 

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Donner l’expression littérale

a designe un nombre décimal non nul .

Donner une expression littérale de :

1)  le double du carré de a .

2)  le carré du double de a .

3) la moitié du carré de a :mathematiques

4)  le carré de la moitié de a .

5) le carré de l’opposé de a .

6)  l’opposé du carré de a .

7)  le carré de l’inverse de a .

8)  l’inverse du carré de a .

 

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Appliquer les propriétés et règles de calcul

1. Simplifier les écritures suivantes :

mathematiques

mathematiques

mathematiques

 

2. développer et réduire les expressions suivantes :

mathematiques

mathematiques

mathematiques

mathematiques

mathematiques

 

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Salle de concert

Une salle de concert peut contenir 600 places. Il y a x places assises et les autres sont debout. Les places debout coûtent 15€ et les places assises 25€.

1°) Que représentent les expressions : a- 600 – x ? b- 25x ? c- 15 (600 – x) ?

2°) Exprime, en fonction de x la recette totale en euros si toutes les places sont occupées.

3°) Calcule cette recette si x = 200.

4°) Quel est le nombre de places assises si la salle est comble et si la recette est de 12 500 € ?

 

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Développer les expressions suivantes

A = 6 (2x + 8)           B = 7 (5x − 1)          C = -4x (x − 9)

D = (3x + 4) (2x + 3)     E = (7x + 5) (5x + (-3))      F = (2x + 9) (7x − 1)

 

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Programme de calcul

On donne un programme de calcul :

Choisir un nombre.

Lui ajouter 2

Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi

Ajouter 1 à ce produit

Ecrire le résultat.

1) Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait fonctionner ce programme avec le nombre – 1 , on obtient 0.

2) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est -6

3) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 4

4) Ecrire l’expression obtenue pour un nombre a quelconque.

 

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Développer et réduire

a)      Supprimer les parenthèses puis réduire l’expression M

mathematiques

b)      Développer et réduire N et P.

mathematiques

mathematiques

c)      Calculer N lorsque x est égal à 3.

 

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Programme de calcul de mr Hamraoui

Mr Hamraoui demande a Anna de suivre les instructions suivantes:

– Choisis un nombre ;

–   Multiplie le par -11 ;

–   Ajoute 8 ;

– Multiplie le résultat par -9 ;

–  Ajoute le nombre choisi au départ ;

–  Ajoute -28 ;

–   Donne ton résultat .

Anna: Je trouve 400 .

M. Hamraoui : Tu avais donc choisi 5 au départ .

Quel est le truc de Mr Hamraoui ?

 

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Développement d’expressions algébriques

Exercice 1 :

A = x (x + 2)

B = 5x (x +3)
C = 2x (3x – 5)
D = – 3x (1 – 4x)
E = (x + 2) (-x + 3)
F = (2x + 3) (4x – 1)
G = (5 – 3y) (6 – 2y)

Exercice 2 : Développer et réduire.

A = (x + 3) (x – 2) + (2x + 4) (x + 5)

B = (2x – 1) ( 7x + 8) – (5 – 4x) (3x + 1)
C = (3x + 4) ( 7x – 1) – (2x + 5) (3x – 2)

Exercice 3 :

A = (x – 3) (3x – 1) – 2x² + 4

Calculer A pour : x = 2 x = -1

Exercice 4 :

Exprimer sous forme développée et réduite l’aire de ces deux figures.


Exercice 5 :

Factoriser en recherchant un facteur commun.

A = 11n + 11
B = x ² + 5x
C = 14t² – 21t
D = (x + 5)(x + 8 ) + 2 (x + 5)
E = (2x – 9) (3x + 7) + (2x – 9) (6 – 2x)
F = (5x – 3) (7x – 9) – (3x + 4) (5x – 3)
G = (7x + 1) ² + (7x + 1) (2x + 5)
H = (2a +3) (5a – 1) – (2a +3)²

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Développer et factoriser
Exercice 1 :

Ecrire sans parenthèses les expressions données :

a. -(3+x)
b. -(2a+4)
c. -(-3+x)
d. -(5-x)
e. -(7-2y)
f. -(-6-4x)

 

Exercice 2 :

Réduire chacune des expressions suivantes :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.

Exercice 3 :

Supprimer les parenthèses puis réduire chaque expression.

a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.

Exercice 4 :

Développer puis réduire les expressions.
a.
b.
c.
d.
e.
f.

Exercice 5 :

Développer puis réduire les expressions.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.

 

Exercice 6 :

Dans cet exercice désigne un nombre supérieur à 3.

On se propose d’exprimer l’aire de la surface coloriée en fonction de

calcul litteral

1.a. Expliquer pourquoi l’aire :
• du rectangle ABCD peut s’écrire ;
• du rectangle AEFG peut s’écrire .

b. Après avoir développé les expressions littérales précédentes, exprimer l’aire en fonction de .

• Montrer que l’aire peut s’écrire aussi :
.

• Développer puis réduire cette expression.

3.Calculer alors la valeur de pour .

 

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Développer et réduire les expressions suivantes :

A=(x+1)(x+4)

B=(x+1)(4-x)

C=(x-1)(4+x)

D=(x-1)(x-4)

 

Corrigé de cet exercice

Calculs contenant des parenthèses

Supprimer les parenthèses puis réduire les expressions :

E=-(x+1)+(x-1)-(x+2)

F=(6x-1)+7-(3-6x)

 

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Identités remarquables

En se rappelant que a^2=a\times a .

développer et réduire les expressions suivantes :

A=(x+4)^2

B=(2x-3)^2

 

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Calcul algébrique
Exercice 1 :

Réduire chaque expression littérale suivante :

D=x^2+3x-1+x^2-15x-2x+4-5x^2

E=12x^2-8+3x-8x^2+7+7x-3x

F=9a+15a^2-15a-11a^2-3a-4a^2+2

Exercice 2 :

Réduire chacune de ces expressions :

G=+3-(a-b)+5+(-a+b)+a

H=-3-(-a+b)+5a-9+(-3a-5b)

Exercice 3 :

1. Développer et réduire les expressions suivantes.

2. Tester le résultat pour x = 0 et x = 1.

a.    (x-\frac{3}{7})(7x-14)

b.   (3+\frac{3}{8}x)(8-x)

 

Corrigé de cet exercice

Programme de calcul

Voici un programme de calcul :

– Choisir un nombre.

– Soustraire 3 à ce nombre.

– Multiplier le résultat obtenu par – 5 .

– Diviser le résultat obtenu par 4.

– Ajouter le nombre de départ au résultat obtenu.

1. Effectuer ce programme de calcul pour – 2 et pour 7.

2. Reprendre ce programme pour un nombre x.

 

Corrigé de cet exercice

Du texte à l’écriture mathématique

 

Corrigé de cet exercice

Réduire des expressions algébriques

 

Corrigé de cet exercice

Suppression de parenthèses

 

Corrigé de cet exercice

Réduction d’expressions littérales

Réduire, si possible, les expressions suivantes :

A=2x+x
B=3x\times x

C=4x-x

D=3x+2

E=x\times 2x

F=x^2+x

G=0\times x

H=1+2x

I=0+x

J=5x\times 6x

K=4\times x\times 5

L=x\times x+x

 

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