Exercices maths terminale S et ES

Exercices sur l’arithmétique en terminale S spécialité

Des exercices de maths en terminale S sur arithmétique en enseignement de spécialité.Vous avez également la possibilité de vous exercer sur les exercices de maths corrigés en terminale S en PDF.

Arithmétique en terminale

1-Etablir que pour tout
2-Montrer que pour tout 

Corrigé de cet exercice

Démontrer qu’un entier est divisible par 3

n designe un nombre entier naturel.
Demontrer que n(n+2)(n+4) est divisible par 3.

Corrigé de cet exercice

Démontrer la propriété suivante :

Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors on a :
PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b) = a × b.
 On admettra la propriété suivante :
Si a’ et b’ sont deux entiers naturels premiers entre eux alors PPCM(a’ ;b’) = a’×b’.

Corrigé de cet exercice

Système d’équations

Résoudre dans  , le système :

Corrigé de cet exercice

Montrer qu’un entier n’est jamais un nombre premier

 On désigne par a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
1) Développer le carré .
2) En déduire que l’entier naturel  n’est jamais un nombre premier.

Corrigé de cet exercice

Congruences

Corrigé de cet exercice

Différence de cube

1. Démontrer que pour tout  et  ,on a  .

2. résoudre l’équation   où les inconnues sont des entiers naturels .

Corrigé de cet exercice

Théorème de la division euclidienne dans Z

On note  .

D’après le théorème de la divison euclidienne dans ,

il existe  et  tels que :

.

Démontrer que le couple (q,r) est unique .

Corrigé de cet exercice

Problème sur les racines carrées

On note   tel que n soit le carré d’aucun entier.

Rappel : tout entier naturel admet une décomposition unique en produit de facteurs premiers .

On suppose que  et donc qu’il existe  et  

tels que  avec pgcd(p,q)=1.

1. Exprimer  en fonction de  et  .

2. Que peut-on dire des exposants des facteurs premiers figurant dans la décomposition de  ?

3. Conclure .

4. Démontrer par l’absurde que  .

Corrigé de cet exercice

Somme à calculer

On note .

Démontrer que pour tout  , on a :

 .

Corrigé de cet exercice

Calcul d’une somme

Démontrer par récurrence que pour tout  , 

on a  .

Corrigé de cet exercice

Puissance, arithmétique et raisonnement par récurrence

On note x un réel positif .

Démontrer par récurrence que pour tout entier  , on a   .

Corrigé de cet exercice

Contraposée et raisonnement par récurrence

On note  .

Le but de cet exercice est de montrer par contraposition la propriété suivante :

   Si l’entier  n’est pas divisible par 8 alors l’entier n est pair .

1. Ecrire la contraposée de la proposition précédente .

2. En remarquant qu’un entier impair n s’écrit sous la forme  

avec  et  ( à justifier).Prouver la contraposée .

3. Que peut-on en déduire ?

Corrigé de cet exercice

Multiple d’un nombre

Montrer que, pour tout entier  est un multiple de 3 .

Corrigé de cet exercice

Raisonnement par récurrence

1. Développer, réduire et ordonner .

2. En déduire que pour tout entier  ,  est un multpile de 5 .

Corrigé de cet exercice

Somme des cubes

1. Montrer que \forall n\in \mathbb{N}^*\,,\,S=\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} .

2. En déduire la valeur de A=1^3+2^3+3^3+...+10^3 .

Corrigé de cet exercice

Multiple d’un nombre

Montrer que pour tout entier n\geq  0\,,\,n^3-n  est un multiple de 3.

Corrigé de cet exercice

Bac s spécialité et arithmétique

Soit n un entier naturel .

1. trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de par 13 .

2. En déduire que est divisible par 13.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre est divisible par 13 .

Corrigé de cet exercice

info Continuez de réviser en effectuant la série 2 des exercices sur l’arithmétique en enseignement de spécialité pour les élèves de terminale S.

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