Exercice matrices


Exercice matrices Niveau : terminale
Posté par jiji010699

jiji010699

Bonjour, j'ai un DM de spécialité mathématiques de niveau terminale S qui me pose probleme 

Je pense avoir reussi l'exercice 1. J'ai pour cela effectuer les 4 produits possibles entre A et les deux autres matrices. J'ai ensuite trouver les relations des coefficients en utilisant la propriété qui dit que pour que deux matrices soient égales elles doivent avoir les mêmes coefficients 

Pour l'exercice 2 j'ai reussi à calculer A^2. J'ai remarqué que deux coefficients dans la diagonale sont égaux mais je ne vois pas en quoi ça peut m'aider pour la question 3 

Dans l'exercice 3, pour la question 1) à) j'ai fait : 
A*X=(X^2+X)*X=X^3+X^2 
Et X*A=X*(X^2+X)=X^3+X^2 

On voit bien que les deux produits sont égaux mais je suis pas sûr que c'est comme ceci qu'il faille le montrer. Par contre pour les autres questions je suis complètement perdu, et je serai très reconnaissant de votre aide 

(Je suis desolé j'ai du scanné le sujet, je n'arrive pas à faire des matrices sur l'ordinateur et pour la bonne lisibilité de mon sujet je pense qu'il est préférable de faire comme ceci, j'espère que vous me comprendrez) 

/ckfinder/userfiles/files/image(1).jpeg

Je vous remercie par avance


Règles à respecter sur le forum

infoSi vous n'avez pas fait l'effort de préciser et rédiger ce que vous avez déjà fait et sur quels points vous êtes bloqué(e), vous risquez de ne pas recevoir de réponse.

Règles du forum - Tutoriel LATEX


Exercice matrices Posté le 13/12/2016 - 11:43

Posté par Maginot20 | Modrateur du forum de mathmatiques Modérateur 485 points


Maginot20

Bonjour,

Pour l'ex 1 il faut etre un peu plus precis dans ta réponse.

Ex 2: Tu dois obtenir A^{2}=(1+t^{2})^{2}*I dans laquelle I est la matrice identité. Si je pose

B=frac{1}{(1+t^{2})^{2}}*A  alors l'égalité précédente devient  A*B=I Ainsi A est inversible et a pour inverse B.

Ex3: a) Oui effectivement AX=XA Ensuite calcule ces produits et par identification tu obtiendras les égalités recherchées.

b) Réalise les calculs en utilisant la matrice X qui ne contient plus que a et b et par identification tu dois obtenir deux équations qu'il suffit d'ajouter entre elles pour obtenir l'égalité souhaitée.

c) Il suffit de poser x=a+b et de remplacer dans l'équation pour obtenit une équation du second degré à résoudre.

Donne moi tes résultats et je te corrigerai.

Bonne journée


Exercice matrices Posté le 13/12/2016 - 13:12

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

Merci beaucoup de votre aide j'ai tout compris ! Je fais ca ce soir et je vous le transmet. Vous êtes en terminale ?


Exercice matrices Posté le 13/12/2016 - 18:11

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

1er exercice :
1) J'ai fait A*[1;0;0;0] et j'ai trouvé [a;0;c;0]
J'ai ensuite fait la mutiplication dans l'autre sens et j'ai trouvé [a;b;0;0]
On peut déja remarqué que b=0 et c=0

J'ai fait A*[0;1;0;0] et j'ai trouvé [0;a;0;c]
J'ai fait la multiplication dans l'autre sens et j'ai trouvé [c;d;0;0]
On a donc a=d

On peut donc conclure de ces calculs que b=c=0 et a=d. Est ce juste ?

2) Soit X=[a;b;c;d] et A=[e;0;0;e]. A est bien une matrice du type trouvé précédemment

On calcule A*X et on obtient [ae;be;ce;de]
On obtient le même résultat en faisant X*A

Donc les matrices du même types que A commutent avec toutes les matrices 2*2

3) Je ne vois pas ce que mon prof attend comme conclusion, avez vous une idée ?

Exercice 2:

1) En calculant A^2 je trouve la mtrice [t^4+2t^2+1;0;0;t^4+2t^2+1]

2) Suis je obligé de poser t^4+2t^2+1=(1+t^2)^2 comme vous l'avez fait ? Si oui pourquoi ? Je bloque un peu sur cette question

Exercice 3 :

1) A*X=(X^2+X)*X=X^3+X^2 
Et X*A=X*(X^2+X)=X^3+X^2 

Donc AX=XA

2) AX=[a+b;a+b;c+d;c+d]
XA=[a+c;b+d;a+c;b+d]

On en déduit comme AX=XA, que :
a+b=a+c
a+b=b+d
c+d=a+c
c+d=b+d

En prenant la deuxième égalité, et en faisant -b des deux cotés on obtient a=d
EN prenant la dernière égalité et en faisant -d des deux cotés on obtient c=d

b) On a donc X=[a;b;b;a]

En faisant X^2+X j'obtiens [a^2+a+b^2;2ab+b;2ab+b;a^2+a+b^2]

Je ne sais pas comment faire pour obtenir les égalités demandées avec cette expression, comment faire ?

c) On pose x=a+b 

On a donc x^2+x=2
x^2+x-2=0

C'est un polynome du second degré avec delta=9  x1=-2    x2=1

On ne trouve pas la réponse 2, et en plus de cela, il faut démontrer que cela est égal à 2, donc il ne faut as le mettre dans l'équation au départ non ? il ne faut pas partir de la conclusion.

 

En vous remerciant par avance pour votre correction


Exercice matrices Posté le 13/12/2016 - 21:22

Posté par Maginot20 | Modrateur du forum de mathmatiques Modérateur 485 points


Maginot20

Ex 1: 3) La matrice A = e*I ou I est la matrice identité. On a ainsi démontré que X*I=I*X=X ce qui est aussi la définition de la matrice identité.

Ex2: 2) t^4+2t^2+1=(1+t^2)^2 car c'est une identité remarquable.

A^{2}=(1+t^2)^2egin{pmatrix} 1  0\ 0 1 end{pmatrix}= (1+t^2)^2*I

Révise la définition de ce qu'est une matrice inverse. A*A^{-1}=A^{-1}*A=I

Ex3. a) OK

b) Il faut identifier les termes de X^{2}+X=A ce qui donne

\ a^{2}+b^{2}+a=1 \ 2ab+b=1

c) Les solutions possibles sont donc a+b=-2 ou a+b=1

Il faut combiner ces deux cas avec une des équations précédentes (résoudre le système) pour obtenir toutes les combinaisons possibles. Il y a 4 couples (a,b) solutions. 

A toi de terminer

 


Exercice matrices Posté le 13/12/2016 - 22:00

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

je suis d'accord avec ce que vous avez écrit pour la question 3 de l'exercice 1 mais savez vous quelle est clairement la conclusion que mon professeur attend ?

pour l'exercice 2 je comprends votre démarche mai était il obligatoire de factoriser par l'identité remarquable ou on peut laisser la forme développée ?

je ne comprends pas ce que vous avec fait pour le 3)B) et comment vous êtes êtes passé de matrices a de simples valeurs comme a et b 

pour l'équation, ce que je ne comprends c'est qu'on doit démontrer que c'est égal à 2, et que vous avez cherché les solutions de l'équation en partant déjà du principe que c'était egal à 2 alors que c'est justement ce que l'on cherche à demontrer. Pourriez vous m'éclairer svp ?

en vous remerciant encore pour votre aide très précieuse 


Exercice matrices Posté le 13/12/2016 - 23:02

Posté par Maginot20 | Modrateur du forum de mathmatiques Modérateur 485 points


Maginot20

Ex1: 3) Toute matrice de la forme k*I (I=matrice identité) commute avec toute matrice 2x2.

Ex2. Non il n'est pas obligatoire de factoriser l'expression mais la forme factorisée est plus compacte et lisible.

Ex3; b) X^{2}+X=egin{pmatrix} a^{2}+b^{2}+a  2ab+b \ 2ab+b  a^{2}+b^{2}+a end{pmatrix}=egin{pmatrix} 1 1 \ 1  1 end{pmatrix}

Deux matrices sont égales si ses éléments sont égaux (a_{ij}=b_{ij}). D'ou les deux équations.

\ a^{2}+b^{2}+a =1 \ 2ab+b=1

On additionne membre à membre ces deux équations. Soit:

\ a^{2}+b^{2}+2ab+a+b =2 \ (a+b)^{2}+a+b=2


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 05:59

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

Ok merci beaucoup 

donc pour l'exercice 1 la conclusion c'est que toute matrice du type k*I commute avec toute autre matrice 2*2 c'est bien cela ? Et quels résultats précédents nous permettent de faire cette conclusion ?

exercice 2 : je pense que c'est bon pour cet exercice j'ai tout compris

exercice 3 : ah ca y est ! Je comprends comment demontrer que c'est égal à 2 maintenant ! Merci beaucoup ! Et pour les relations qui sont demandés ensuite je dois faire comment ?

merci encore énormément 


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 08:55

Posté par Maginot20 | Modrateur du forum de mathmatiques Modérateur 485 points


Maginot20

Tu as démontré précédement que a+b=1 ou que a+b=-2 (question 2.c). On utilise une des équations trouvées en 2.b et on resout le système

left{egin{matrix} a+b=1\ 2ab+b=1 end{matrix}
ight.

left{egin{matrix} a=1-b\ 2(1-b)b+b=1 end{matrix}
ight.

Puis on développe

-2b^{2}+3b-1=0

Cette équation donne deux solutions (à calculer) b_{1} et b_{2} et donc aussi deux valeurs a_{1} et a_{2} en reportant dans la première équation. On obtient deux couples de valeurs possibles pour a et b (a_{1},b_{1}) et (a_{2},b_{2}).

Tu fais la même chose avec l'autre équation (a+b=-2) pour obtenir deux autres couples de solutions.

Si tu me donne tes réponses je te dirai si c'est bon.


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 10:06

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

Je vous remercie, je fais ca dans la journée et je vous le transmet. Pourquoi fait on deux systèmes differents et pas un seul svp ?


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 10:12

Posté par Maginot20 | Modrateur du forum de mathmatiques Modérateur 485 points


Maginot20

Parce que les solutions possibles de a+b sont 1 OU -2. Ce sont donc deux cas differents.


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 12:08

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

Je suis en train de faire l'exercice 3, j'ai résolu le 1er système 

pour le deuxième système je dois prendre l'équation a+b=2 mais quelle est la deuxième équation du système ? Comment savoir laquelle prendre ?


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 12:30

Posté par Maginot20 | Modrateur du forum de mathmatiques Modérateur 485 points


Maginot20

Peu importe. Tu peux reprendre la même ou changer.


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 12:43

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

D'accord et l'équation a^2+b^2+a=1 peut être utiliser ? C'est tout de même plus compliqué non ?

pour les couples j'ai trouvé (0;1) (0,5;0,5) (3/4 - racine(17)/4 ; (racine(17)+5)/4)  (racine(7)/4 + 3/4 ; (-racine(17)+5)/4)


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 13:12

Posté par Maginot20 | Modrateur du forum de mathmatiques Modérateur 485 points


Maginot20

Les deux premiers couples sont bons. Ensuite c'est faux. Attention l'équation est a+b=-2


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 13:29

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

J'ai recommencé et je tombe sur les couples (-1,5;-0,5) et (-1;-1)

c'est bon ? Et j'aurais pu utiliser l'équation a^2+b^2+a= 1 dans le système ? Cela aurait été faisable comme il y a deux inconnues au carrées ?


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 18:28

Posté par Maginot20 | Modrateur du forum de mathmatiques Modérateur 485 points


Maginot20

Oui c'est bon. On peut aussi utiliser l'autre équation du second degré qui donne le même résultat.

Ainsi tu as résolu une équation du second degré dont l'inconnue est une matrice 2x2. Cette équation X^{2}+X=A admet 4 solutions qui sont les 4 matrices que tu as déterminées.

Bonne soirée


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 18:40

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

D'accord je vous remerci. Les couples que j'ai trouvé répondent à quelle question ? Ce sont des solutions de a et de b ? Car on me demande des solutions et pas des couples de solutions.

 


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 18:58

Posté par Maginot20 | Modrateur du forum de mathmatiques Modérateur 485 points


Maginot20

Ce sont les réponses à 1.d. Ce sont les valeurs possibles de a et b. Mais il faut comprendre que a et b sont liés par les équations précédentes (par exemple a+b=1)


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 19:31

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

Ah ok je pense avoir compris ! A et b sont liés? L'un dépend de l'autre, donc on a des couples, et ce sont ces couples qui nous permettent de déterminer les matrices X qui vérifient l'équation de l'énoncé c'est bien cela ?

et savez ce que mon prof attend dans la dernière question lorsqu'il demande de conclure ? Il demande les matrices solutions ?

 

 


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 19:38

Posté par Maginot20 | Modrateur du forum de mathmatiques Modérateur 485 points


Maginot20

Oui , il faut faire une phrase de réponse. Reprend mon message de 18h28 en précisant les 4 matrices.


Exercice matrices Posté le 14/12/2016 - 19:53

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

D'accord je vous remercie. Vous m'avez vraiment beaucoup aidé. J'aimerais vous demander un dernier service pour être sûr que j'ai bien compris. Puis je vous envoyer un mon travail au propre une fois que je l'aurais terminé pour que vous puissiez me confirmer que j'ai bien compris ? Et si vous pourriez me dire si ma rédaction est claire et correcte car mon prof est très à cheval là dessus 


Exercice matrices Posté le 15/12/2016 - 21:20

Posté par jiji01069912 points


jiji010699

?



Ecrire une réponse à ce topic Exercice matrices :

Acces refusé :

Uniquement les membres de Mathovore peuvent créer un topic (demande d'aide) ou répondre à un message .
Inscrivez-vous à Mathovore,l'inscription est définitive et prend 30 secondes .

Inscrition gratuite


Besoin d'aide?Créez un topic sur le forum Besoin d'aide? Créez un topic sur le forum.

Les derniers topics ajoutés

D'autres documents similaires


Inscription gratuite à Mathovore. Rejoignez les 111125 Mathovoristes, inscription gratuite.