Corrigé

Corrigé du brevet de maths 2015 aux centres étrangers

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Le corrigé du sujet du brevet de maths 2015 aux centres étrangers.Ce corrigé est destiné aux élèves de troisième au collège désireux de se préparer pour le DNB des collèges.

Exercice 1 :

1. Pour la journée J1, la puissance consommée à 7 h est de 68 100 MW.

2. Pour la journée J2, on a une puissance consommée de 54 500 MW à 3 h.

3. Entre 18h et 21 h, le passage à l’heure d’été permet le plus d’économie.

4. A 19h30, la puissance consommée qui a été économisée est de :

(68 100 + 1700)-(57 900+1700)=68 100 – 57 900 =10 200 MW.

Exercice 2 :

1. Réponse A.

2. Réponse C.

3. Réponse B.

Exercice 3 :

1. Quels sont les différents codes possibles ?

Il y a 3 choix pour la lettre (A, B ou C) et trois choix pour le chiffre (1, 2 ou 3). Il y a donc 3 × 3 = 9 différents codes possibles.

2. Aurélie compose au hasard le code A1.

2. a. Quelle probabilité a-t-elle d’obtenir le bon code ?

L’univers associé a cette expérience aléatoire est composé de l’ensemble des codes possibles.

D’après la question 1., il contient 9 évènements élémentaires qui sont équiprobables.

La probabilité d’obtenir l’évènement élémentaire A1 est donc de : p(A_1) = \frac{1 }{9}\simeq 0, 111.

2. b. En tapant le code A1, Aurélie s’est trompée à la fois de lettre et de chiffre.

Elle change donc ses choix.

Quelle probabilité a-t-elle de trouver le bon code à son deuxième essai ?

Lors de son deuxième essai, Aurélie n’a plus que 2 choix pour la lettre (B ou C) et deux choix pour le chiffre (2 ou 3).

Il y a donc 2 × 2 = 4 différents codes possibles.

La probabilité de trouver le bon code à son deuxième essai est donc de : p_2 = \frac{1}{4} = 0, 25.

2. c. Justifier que si lors de ce deuxième essai, Aurélie ne se trompe que de lettre, elle est sûre de pouvoir ouvrir la porte lors d’un troisième essai.

Si lors de ce deuxième essai, Aurélie ne se trompe que de lettre alors elle n’a plus que 1 choix pour la lettre (celle qu’elle n’a pas encore utilisée) et 1 choix pour le chiffre, celui qu’elle vient de taper.

Elle est donc certaine d’obtenir le bon code.

Exercice 3 :

1. Calculer la hauteur de l’arbre arrondie au mètre.

On peut modéliser la situation ainsi :

Le triangle OAS est rectangle en A donc : tan \widehat{SOA} = \frac{SA}{OA} soit tan \,45^{\circ} = \frac{SA}{15}.

Et donc SA = 15 tan 45◦ = 15 m

• Le triangle OAP est rectangle en A donc : tan \widehat{POA} = \frac{PA}{OA} soit tan 25◦ = \frac{P A}{15 }.

Et donc P A = 15 tan 25◦ ≈ 7 m

On a donc la hauteur de l’arbre h = P A + AS : h = 15 + 15 tan 25◦ ≈ 22 m.

Exercice 4 :

Dans un second temps, ils effectuent une mesure de diamètre sur chaque arbre et répertorient toutes les données dans la feuille de calculs suivante :

tableau

2. a. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule M pour obtenir le nombre total d’arbres ?

Il faut saisir la formule : = SOMME(B2 : L2)

2. b. Calculer, en centimètre, le diamètre moyen de ce lot. On arrondira à l’unité.

On peut pour cela rajouter une ligne au tableau afin d’effectuer les produits correspondants. Le diamètre moyen est la moyenne des diamètres pondérés par les effectifs associés soit :

m = \frac{30 × 2 + 65 × 4 + · · · + 80 × 3}{92} = \frac{5 210 }{92}\simeq 57\, cm

3. Un lot est composé de 92 arbres de hauteur 22 m et de diamètre moyen 57 cm. Sachant qu’un mètre cube de pin rapporte 70 euros, combien la vente de ce lot rapporte-t-elle ? Arrondir à l’euro.

Calcul du volume.

Le volume commercial d’un pin est donné par la formule : V = \frac{10}{24 } \times  D^2 \times  h.

Donc ici, le volume commercial des 92 arbres de hauteur 22 m et de diamètre 0,57 m est :

V ' = 92\times  V = 92 \times  \frac{10}{24} \times  0, 572 \times  22 = 273, 999 m ^3

Calcul de la somme en euro.

Un mètre cube de pin rapporte 70 euros donc ce lot va rapporter, arrondi à l’euro :

P = 273, 999 \times  70 \simeq 19 180 €.

Exercice 5 :

Après une réduction de 20%, on ne va donc payer que 80% du prix initial du billet soit : 400 × 80 100 = 4 × 80 = 320 €

Le billet ne coûte plus que 320 euros et donc l’affirmation 1 est fausse.

L’image de 2 par f est : f(2) = 4 × 2 − 2 = 6 ;

• L’antécédent de 10 par f est le nombres x tel que f(x) = 10 soit : f(x) = 10 ⇐⇒ 4x − 2 = 10 ⇐⇒ 4x = 12 ⇐⇒ x = 3

• Le double de l’antécédent de 10 est 2 × 3 = 6, qui est bien égal à l’image de 2.

L’affirmation 2 est vraie.

• Données. Les points A, O, D et B, O, C sont alignés dans cet ordre sur deux droites sécantes en O.

• Le test, avec mise au même dénominateur. \frac{OB}{OC} = \frac{45}{60}= \frac{3}{4} =\frac{75}{100} et  \frac{AB}{CD}=\frac{76}{100}

Conclusion : On n’a donc pas égalité . De ce fait, d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles

. L’affirmation 3 est fausse.

Exercice 6 :

Soit x le nombre de départ, chaque programme, nous ressort le nombre suivant :

Programme A :    (x+2)^2      programme B : x(x+4)+4

1. Si on choisit 3 comme nombre de départ, les deux programmes nous ressortent :

Programme A :   (3+2)^2=5^2=25      programme B : 3(3+4)+4=3\times  7+4=25

2. Nous devons résoudre (x+2)^2=0

Or le carré d’un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul donc :

x+2=0\\x=-2

Il faut chosiir le nombre – 2 au départ.

3. (x+2)^2=x^2+4x+4   et x(x+4)+4=x^2+4x+4

Ysah avait raison.

Exercice 7 :

1. Calculer la surface au sol.

On va considérer que la surface au sol de la maison (à distinguer de la surface habitable), n’est constituée que de la surface du sol de la partie principale.

On exclut les chambres et le grenier qui sont à l’étage.

Le sol de la partie principale, est un rectangle EF GH de dimensions 12 m sur 9 m dont l’aire est :

A = (12\times  9) = 108\, m^2

2. a. Calculer le volume V1 de la partie principale.

La partie principale est constituée d’un pavé droit ABCDEFGH, donc son volume V1 est :

V_1 = AB\times  AD \times  AE = 12 \times  9 \times  3 = 324\, m^ 2.

2. b. Calculer le volume des chambres.

• Pour calculer le volume des chambres, on va soustraire le volume de la pyramide réduite IRTSM à celui de la grande pyramide IABCD.

Calcul du volume de la pyramide IABCD.

La pyramide IABCD est de base, le rectangle ABCD d’aire A d’après la question 1., et de hauteur IK1 = 6, 75 m.

V_{IABCD} = \frac{A_{ABCD} \times  IK_1 }{3} = 108 \times  6, 75 = 243\, m^ 3

Calcul du volume de la pyramide IRTSM.

La pyramide IRTSM est une réduction de la pyramide IABCD de rapport :

k = \frac{IK_2}{IK_1} =\frac{ 4, 5}{6, 75} = \frac{2}{3}

Les longueurs étant multipliées par ce rapport k = 2 3 , par théorème, les aires le sont par k^2 et les volumes par k^3  donc :

V_{IRT SM} = \left ( \frac{2 }{3} \right )^3 \times  V_{IABCD} =  \left (\frac{2}{3} \right )^ 3 \times  243 = 72\, m^ 3

Volume V2 des chambres.

On a donc :

V2 = V_{IABCD} -V_{IRTSM} = 243 - 72 = 171 m^ 3

2. c. Montrer que le volume à chauffer est égal à 495 m3 .

Puisque les radiateurs seront installés dans toute la maison sauf au grenier, le volume V3 à chauffer à la somme des volumes de la partie principale et des chambres.

V_3 = V_1 + V_2 = 324 + 171 = 495\, m^3

3. Un expert a estimé qu’il faut dans cette maison une puissance électrique de 925 Watts pour chauffer 25 mètres cubes. Le propriétaire décide d’acheter des radiateurs qui ont une puissance de 1 800 watts chacun et qui coûtent 349,90 euros pièces.

Combien va-t-il devoir dépenser pour l’achat des radiateurs ?

Calcul de la puissance nécessaire pour chauffer la maison.

« Il faut dans cette maison une puissance électrique de 925 Watts pour chauffer 25 mètres cubes » Volume (m3 )                 25 m^3                495 m^3

Puissance électrique     925 Watts         ?

Le calcul d’une quatrième proportionnelle par exemple nous donne directement la puissance électrique nécessaire pour chauffer les 495 m^3 du volume de la maison.

P = \frac{925\times  495}{25} = 18 315 Watts

Calcul du nombre de radiateurs.

« Le propriétaire décide d’acheter des radiateurs qui ont une puissance de 1 800 watts chacun » .

Par division euclidienne de la puissance électrique nécessaire par la puissance d’un radiateur on obtient : 18315 = 1800 × 10 + 315.

Il faudra donc 11 radiateurs pour avoir la puissance nécessaire car 10 ne suffisent pas.

• Calcul du prix d’achat des radiateurs.

Le radiateurs coûtent 349,90 euros pièces donc cela représente pour l’achat des 11 radiateurs une somme de : S = 11 × 349, 90 = 3 848,90 €

Sujet du brevet de maths des centres étrangers 2015



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