Corrigé des exercices de maths

Limites de fonctions : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.


Le corrigé des exercices sur les limites en 1ère. Savoir calculer des limites et lever des formes indéterminées en première.

Exercice 1 :

Déterminer dans chaque cas \lim_{x \mapsto   +\infty }f(x).

1. f(x)=\frac{sinx+1}{2x}\;\,D=\mathbb{R}^*.

Il n’y a pas de forme indéterminée.

En +\infty , le numérateur est majoré par 2 et minoré par 0 et le dénominateur tend vers +\infty

donc \lim_{x \mapsto   +\infty }f(x)=0

2. f(x)=2\sqrt{x}-sin(3x+1)\,;D=\mathbb{R}^+.

Il n’y a pas de forme indéterminée ici le sinus est borné entre – 1 et + 1

donc \lim_{x \mapsto   +\infty }f(x)=\lim_{x \mapsto   +\infty }2\sqrt{x}=+\infty

Exercice 2 :

Déterminer le domaine de définition D de f puis étudier les limites de f aux bornes de D.

f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{4x+2}}

Il faut que \frac{x-1}{4x+2}\geq\, 0  et 4x+2\neq0

ce qui revient à  (x-1)(4x+2)\geq\, 0 et  x\neq -\frac{1}{2}

Conclusion :    D_f=]-\infty;-\frac{1}{2}[\cup [1;+\infty[

Exercice 3 :

Déterminer la limite en +\infty et -\infty de :

g(x)=\frac{3x^3+2x^2+1}{2x^4+3x^2-5}

C’est une fonction rationnelle donc la limite en l’infini correspond au quotient des limites en plus l’infini des termes de plus haut degré.

\lim_{x \mapsto   +\infty }g(x)=\lim_{x \mapsto   +\infty }\frac{3x^3}{2x^4}=\lim_{x \mapsto   +\infty }\frac{3}{2x}=0

et de même :

\lim_{x \mapsto   -\infty }g(x)=\lim_{x \mapsto   -\infty }\frac{3x^3}{2x^4}=\lim_{x \mapsto   -\infty }\frac{3}{2x}=0

Exercice 4 :

1.\,\lim_{x \mapsto   0 }\frac{1}{x^2}-\sqrt{x}=+\infty\\2.\,\lim_{x \mapsto   +\infty}\frac{1}{x^2}-\sqrt{x}=-\infty\\3.\,\lim_{x \mapsto   +\infty }(\frac{1}{x-2}-1)=-1

Exercice 5 :

1. La fonction f(x) = x^3 - 3x est dérivable sur \mathbb{R}, et sa dérivée est :

f'(x)\,=\,3x^2\,-\,3\,=\,3(x^2\,-\,1)

On résout l’équation f'(x) = 0 :

3(x^2 - 1) = 0

\Leftrightarrow x^2 - 1 = 0

\Leftrightarrow (x-1)(x+1) = 0

Ainsi, les solutions de l’équation f'(x) = 0 sont x = -1 et x = 1.

2. Pour qu’une tangente à la courbe C_f soit horizontale, il faut que sa pente (c’est-à-dire la valeur de sa dérivée) soit nulle. Ainsi, les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les tangentes horizontales sont les solutions de l’équation f'(x) = 0, c’est-à-dire les points de coordonnées (x, f(x))x = -1 ou x = 1. Ces points sont donc A(-1, 2) et B(1,-2).

3. Les points d’intersection entre C_f et l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation f(x) = 0. On a :

f(x) = x^3 - 3x = x(x^2 - 3)

Ainsi, les solutions de l’équation f(x) = 0 sont x = 0, x = \sqrt{3} et x = -\sqrt{3}. Les coordonnées de ces points sont donc P(\sqrt{3}, 0), Q(0,0) et R(-\sqrt{3},0).

4. On veut l’équation de la tangente à C_f en P(\sqrt{3},0). La pente de cette tangente est donnée par la dérivée de f en x = \sqrt{3}, c’est-à-dire :

f'(\sqrt{3}) = 3(\sqrt{3})^2 - 3 = 6

Ainsi, l’équation de la tangente en P est de la forme y = 6x + b. Comme la tangente passe par le point P(\sqrt{3},0), on a :

0 = 6\sqrt{3} + b

\Leftrightarrow b = -6\sqrt{3}

L’équation de la tangente en P est donc :

y = 6x - 6\sqrt{3}

Exercice 6 :

1. Pour étudier les limites de f(x), on peut utiliser la forme indéterminée \frac{\infty}{\infty} (pour la limite en +\infty) et la forme indéterminée \frac{0}{0} (pour la limite en 2). On a :

\lim_{x\to +\infty}f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{2x-5}{x-2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{2 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = 2

On a utilisé ici la règle de de L’Hôpital (en faisant tendre le numérateur et le dénominateur vers l’infini).

Pour la limite en 2, on a :

\lim_{x\to 2^+}f(x) = \lim_{x\to 2^+} \frac{2x-5}{x-2} = \lim_{x\to 2^+} \frac{2 - \frac{3}{x-2}}{1} = 2

La limite en 2 du côté droit est donc égale à 2.

2. On calcule la dérivée de f en utilisant la formule du quotient (u'v - uv')/v^2) :

f'(x) = \frac{(2)(x-2) - (2x-5)(1)}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}

La dérivée f'(x) est donc strictement négative pour tout x \neq 2. En effet, le dénominateur est toujours positif, et le numérateur est négatif, donc la fraction est négative.

Exercice 7 :
Déterminer les limites suivantes :

1. \lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x} =0
2. \lim_{x \to +\infty} -\frac{x^2}{2}=-\infty
3. \lim_{x \to +\infty} 2+\frac{1}{x}=2
4. \lim_{x \to +\infty} -5x^3=-\infty

Exercice 8  :
1. \lim_{x \to -\infty} -\frac{1}{x}=0
2. \lim_{x \to -\infty} -\frac{x^2}{2} =-\infty
3. \lim_{x \to -\infty} 2+\frac{1}{x}=2
4. \lim_{x \to -\infty} -5x^3=+\infty
5. \lim_{x \to -\infty} -\sqrt{-x}=-\infty
6. \lim_{x \to -\infty} -\frac{2}{-5x^3}=0

Exercice 9 :
1. \lim_{x \to 0^-} -\frac{1}{x}=+\infty

2. \lim_{x \to {-3}^-} x+3=0+

3. \lim_{x \to {2}^-} 2-x^2=-2

4. \lim_{x \to {3}^+} \frac{1}{2x-6}=+\infty

5. \lim_{x \to {3}^+} \frac{-7}{6-2x}=+\infty

Exercice 10 :
Déterminer les limites de sommes ou de différences suivantes :

1. \lim_{x \to +\infty} x^2+3x+5=+\infty

2. \lim_{x \to +\infty} 10-3x-x^2=-\infty

3. \lim_{x \to +\infty} 3+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}=3

Exercice 11 :
Déterminer les limites de quotients et racines carrées suivantes :

1. \lim_{x \to 0^-} \frac{3x^2+6x-5}{x^3} =+\infty

2. \lim_{x \to 2^-} \frac{4x^2+2x-1}{x-2}=-\infty

3. \lim_{x \to 6^-} 5x+6-\frac{7}{x-6}=+\infty

4. \lim_{x \to {-3}^-} \frac{4-x^2}{(x+3)^2}=-\infty

5. \lim_{x \to {6}^+} \sqrt{2x-12}=0+

6. \lim_{x \to {3}^-} \sqrt{\frac{1}{3-x}}=+\infty

7. Elle n’existe pas.

Exercice 12 :
Préciser la limite des formes indéterminées suivantes :

1. \lim_{x \to +\infty} x^2-3x+5=+\infty

2. \lim_{x \to +\infty} 1-x^2+x^3 =+\infty

3. \lim_{x \to -\infty} x^2+5x-1 =+\infty

4. \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+5x-9}{5x^2-1}=\frac{3}{5}

5. \lim_{x \to -\infty} \frac{8x^6-9}{5x^4-3}=+\infty

6. \lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x}=+\infty

7. \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+2}-\sqrt{x}=0

8. \lim_{x \to -\infty} \sqrt{3-x}-\sqrt{4-x}=0

Soyez le premier à commenter (Laisser un commentaire)

Votre email ne sera pas publié.


*


Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «limites de fonctions : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.» au format PDF.


D'autres fiches similaires :

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 13 915 278 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.