Corrigé des exercices de maths

Suite numériques : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.


Le corrigé des exercices de maths en terminale sur les suites numériques. Savoir étudier une suite (convergente ou divergente), le sens de variation et sa limite en l’infini.

Exercice 1 :
1. Soit la suite arithmétique  (U_n) de raison r=-2 et telle que  U_{10}=25 .

a. Calculer  U_{50}=U_{10}+40\times   r=25+40\times   (-2)=-55 .

b. Calculer  S_{10}=U_1+U_2+...+U_{10}=\frac{10\times  (U_1+U_{10})}{2}
Or  U_{10}=U_1+9r \Rightarrow U_1=U_{10}-9r=25-9\times   (-2)=43 .

 S_{10}=\frac{10\times  (U_1+U_{10})}{2}=\frac{10\times  (43+25)}{2} =340

2. Soit la suite géométrique  (V_n) de raison  q=\frac{1}{2} et telle que  V_8=\frac{3}{8} .

a. Calculer  V_{20}=V_8\times   q^{12}=\frac{3}{8}\times   (\frac{1}{2})^{12}=\frac{3}{32768} .

b. Calculer  S_9=V_1+V_2+...+V_9=\frac{V_{10}-V_1}{q-1}=\frac{\frac{3}{8}\times   (\frac{1}{2})^2-V_1}{\frac{1}{2}-1} .

Or V_1=\frac{V_8}{(\frac{1}{2})^7} =\frac{3\times   2^7}{8}=48

Donc S_9=\frac{\frac{3}{32}-48}{-\frac{1}{2}}=\frac{1533}{16}

Exercice 2 :
Calculer les limites des suites suivantes :

a.  \lim_{n \to +\infty} U_n=1

b.  \lim_{n \to +\infty} U_n=\lim_{n \to +\infty} \frac{3n-4}{2n+1} =\frac{3}{2}

c. \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}ln(1+\frac{1}{n})=0

d.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}cos(\frac{1}{n})=1

e.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}sin(n\frac{\pi}{3} : sans limite

Exercice 3 :
Calculer les limites des suites suivantes :

a.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}1+\frac{sin n}{\sqrt{n}}=1

b. \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n+cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} =+\infty

Exercice 4 :
Calculer les limites des suites suivantes en utilisant le théorème des croissances comparées.

a.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^2}{2^n}=+\infty

b.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}2^n-n^3=+\infty

c.  \lim_{n \to +\infty}U_n=\lim_{n \to +\infty}\frac{n}{ln(n^2+1)}=+\infty

Exercice 5 :
Etudier le sens de variation des suites suivantes :

a. U_n=\frac{n}{n+1}
soit n \in \mathbb{N}\,,\, U_{n+1}-U_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\ge0

donc (U_n) est strictement croissante sur \mathbb{N}

b.  U_n=n-ln(1+n)
soit n \in \mathbb{N}\,,\, U_{n+1}-U_n=n+1-ln(n+2)-n+ln(n+1)\\=1+ln(\frac{n+1}{n+2})=1+ln(1-\frac{1}{n+2})
La suite définie par  V_n=ln(1-\frac{1}{n+2}) est croissante et tend vers 0
donc il existe  n_0\in \mathbb{N}\,,\, 1+Vn\ge 0

A partir de  n_0\in \mathbb{N} , la suite étudiée est croissante.

c.  U_n=\frac{1\times   3\times   .....\times   (2n-1)}{2\times   4 \times   ...... \times   .... \times   2n}

Pour  n\in \mathbb{N^*}\,,\, U_n\ge 0

Nous pouvons donc calculer le rapport :

Pour

 n\in \mathbb{N^*}\,,\, \frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{\frac{1\times   3\times   .....\times   (2(n+1)-1)}{2\times   4 \times   ...... \times   .... \times   2(n+1)}}{\frac{1\times   3\times   .....\times   (2n-1)}{2\times   4 \times   ...... \times   .... \times   2n}}=\frac{2n+2-1}{2(n+1)}=\frac{2n+1}{2n+2)}\le 1

Donc la suite (U_n) est décroissante sur \mathbb{N} .

Exercice 6 :

Vérifions que la proposition est vraie au rang n=0. On a U_0\,=\,2\,<\,2, donc c’est vrai.

Supposons maintenant que la proposition est vraie pour un certain entier n\geq\, 0, c’est-à-dire U_n < 2. Montrons qu’elle est vraie aussi au rang n+1, c’est-à-dire U_{n+1} < 2. On a :
\[U_{n+1}\,=\,\sqrt{U_n+2}\,<\,\sqrt{2+2}\,=\,2.\]
Ainsi, on a prouvé par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, U_n < 2.

Exercice 7 :

Vérifions que la proposition est vraie au rang n=0. On a U_0=2 et 3-2^0 = 3-1 = 2, donc c’est vrai.

Supposons maintenant que la proposition est vraie pour un certain entier n\geq\, 0, c’est-à-dire U_n = 3-2^n. Montrons qu’elle est vraie aussi au rang n+1, c’est-à-dire U_{n+1} = 3-2^{n+1}. On a :
\[U_{n+1} = 2U_n – 3 = 2(3-2^n) – 3 = 6 – 2^{n+1} – 3 = 3 – 2^{n+1}.\]
Ainsi, on a prouvé par récurrence que \forall n\in\mathbb{N}, U_n = 3-2^n.

Exercice 8 :

a. On a S_1 = 1, S_2 = 1^2 + 2^2 = 5, S_3 = 1^2+2^2+3^2 = 14 et S_4 = 1^2+2^2+3^2+4^2 = 30.

b. On a :
\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,1^2\,+\,2^2\,+\,\ldots\,+\,n^2\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,S_n\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,\frac{n(n+1)(2n-1)}{6}\,+\,(n+1)^2\,\\\,=\,\frac{(n+1)(2n^2\,+\,7n\,+\,6)}{6}\,\\\,=\,\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)-1)}{6}.\,\end{align*}

Ainsi, on a la formule de récurrence S_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.

c. On vérifie que S_1 = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6} = 1. Supposons que S_n = \frac{n(n+1)(2n-1)}{6} pour un certain entier naturel n\geq\, 1. Alors :
\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\,=\,\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}\,\\\,=\,\frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)-1)}{6},\,\end{align*}
ce qui prouve que la formule est vraie au rang n+1.

D’après le principe de récurrence, cela prouve que la formule est vraie pour tout n\geq\, 1.

Exercice 9 :
\lim_{n\to \infty }a_n=5\,;\,\lim_{n\to \infty }b_n=0\,;\,\lim_{n\to \infty }c_n=1

Exercice 10 :

1.a. On a V_n = U_n + 6, donc
\[V_{n+1}\,=\,U_{n+1}\,+\,6\,=\,\frac{1}{2}U_n\,-\,3\,+\,6\,=\,\frac{1}{2}(U_n+6)\,=\,\frac{1}{2}V_n.\]
Ainsi, la suite (V_n) est une suite géométrique de raison \frac{1}{2} et de terme initial V_0 = U_0 + 6 = 15.

1.b. On a :
\begin{align*}\,S_n\,=\,\sum_{k=0}^n\,V_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,15\cdot(\frac{1}{2})^k\,=\,15\cdot\sum_{k=0}^n(\frac{1}{2})^k\,\\\,=\,15\cdot\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}\,=\,30\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n+1}).\,\end{align*}

En utilisant que V_n = U_n + 6, on a
\[S_n'\,=\,\sum_{k=0}^n\,U_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,(V_k\,-\,6)\,=\,S_n\,-\,6(n+1).\]

1.c. Comme |V_n| = |\frac{1}{2}|^n|V_0|, on a \lim_{n\to+\infty} V_n = 0. Ainsi, d’après la formule pour la somme d’une suite géométrique, on a :
\[\lim_{n\to+\infty}\,S_n\,=\,\lim_{n\to+\infty}\,30\cdot(1-(\frac{1}{2})^{n+1})\,=\,30.\]

De même, \lim_{n\to+\infty}S_n' = 30-6\cdot\lim_{n\to+\infty}(n+1) = -\infty car \lim_{n\to+\infty}(n+1) = +\infty.

2. On a W_n = \ln V_n = \ln(U_n+6). On calcule :
\begin{align*}\,W_{n+1}\,-\,W_n\,=\,\ln\,V_{n+1}\,-\,\ln\,V_n\,=\,\ln(\frac{1}{2})\,\\\,=\,\ln(\frac{U_n+6}{2})\,=\,\ln(\frac{1}{2}(U_n+6))\,=\,\ln(\frac{1}{2}V_n).\,\end{align*}

Ainsi, la suite (W_n) est une suite arithmétique de raison \ln(\frac{1}{2}).

On a :
\begin{align*}\,S_n''\,=\,\sum_{k=0}^n\,W_k\,=\,\sum_{k=0}^n\,(\ln(U_k+6))\,\\\,=\,\sum_{k=0}^n\,(\ln(V_k)-\ln(2))\,=\,\ln(V_0)-n\ln(2)\,+\,\sum_{k=0}^n\,\ln(V_k)\,\\\,=\,\ln(15)\,-\,n\ln(2)\,+\,\ln(V_0)\cdot\prod_{k=0}^n\,V_k.\,\end{align*}
On a \lim_{n\to+\infty} V_n = 0, donc \lim_{n\to+\infty}\prod_{k=0}^n V_k = 0.

Ainsi, on a :
\[\lim_{n\to+\infty}\,S_n''\,=\,\ln(15)-\infty\,=\,-\infty.\]

3. On a P_n = V_0\cdot V_1\cdot\ldots\cdot V_n = 15\cdot(\frac{1}{2})^0(\frac{1}{2})^1\cdots(\frac{1}{2})^n = 15\cdot(\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}.

En utilisant que (\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}\leq\, (\frac{1}{2})^{n^2} pour tout n\geq\, 0, on a :
\[\lim_{n\to+\infty}\,P_n\,=\,\lim_{n\to+\infty}\,15\,\times  \,(\frac{1}{2})^{n(n+1)/2}\,=\,0.\]

Exercice 11 :

1. Soit (u_n) une suite convergente de limite L.

Par définition, cela signifie que pour tout \epsilon >0, il existe un entier naturel N tel que pour tout n \geq\, N, |u_n - L|<\epsilon.

En particulier, pour \epsilon = 1, il existe un entier naturel N tel que pour tout n \geq\, N, |u_n - L |<1. Cela signifie que L-1 < u_n < L+1 dès que n \geq\, N.

Donc la suite (u_n) est bornée.

2. Soit (u_n) une suite croissante et non majorée.

On montre que (u_n) diverge vers + \infty. En effet, pour tout M >0, comme (u_n) n’est pas majorée, il existe un indice n tel que u_n > M.

De plus, comme (u_n) est croissante, pour tout n' \geq\, n, on a u_{n'} \geq\, u_n > M.

Donc la suite (u_n) est M-supérieure à partir d’un certain rang indépendant de M, ce qui signifie que (u_n) tend vers + \infty.

3. Supposons qu’une suite (u_n) converge vers deux limites distinctes L et L'.

Alors, pour tout \epsilon>0, il existe N_1 tel que pour tout n\geq\, N_1, on ait |u_n-L|<\epsilon/2 et il existe N_2 tel que pour tout n\geq\, N_2, on ait |u_n-L'|<\epsilon/2. Soit N=\max\{N_1, N_2\}.

Alors, pour tout n\geq\, N, on a à la fois :
 |u_n - L| < \frac{\epsilon}{2}
et
 |u_n - L'| < \frac{\epsilon}{2}.
En ajoutant ces deux inégalités, on obtient :
 |L-L'| < \epsilon.
Mais ce n’est possible que si L=L', ce qui contredit notre hypothèse de départ. Ainsi, la limite d’une suite est unique.

4. La suite u_n = (-1)^n n n’a pas de limite.

En effet, si elle avait une limite L, alors pour tout \epsilon>0, il existerait un entier N tel que pour tout n \geq\, N, on aurait |u_n-L|<\epsilon.

Mais la suite (u_n) n’est pas convergente par oscillation : si n est pair, u_n=n et pour n impair, u_n=-n.

Ainsi, pour tout N, on peut trouver n_1 et n_2 pairs tels que n_1\geq\, N et u_{n_1}=n_1>0 et n_2\geq\, N et u_{n_2}=-n_2<0, et donc |u_{n_1}-u_{n_2}|=n_1+n_2\geq\, 2N>2\epsilon (\epsilon< N) ce qui contredit la convergence de (u_n).

5. Soit (u_n) une suite bornée et (v_n) une suite convergeant vers 0.

Il existe donc une constante M telle que |u_n| \leq\, M pour tout n \in \mathbb{N}. Par ailleurs, puisque (v_n) converge vers 0, pour tout \epsilon>0, il existe un entier N tel que pour tout n \geq\, N, on ait |v_n| \leq\, \epsilon/M.

En combinant ces deux inégalités, on en déduit que :
|u_n v_n| \leq\, M |v_n| \leq\, M \epsilon/M = \epsilon
pour n \geq\, N. Cela signifie que (u_n v_n) converge également vers 0.

6. Soit (u_n) une suite d’entiers relatifs convergeant vers un réel L.

Soit \epsilon>0. Puisque (u_n) converge vers L, il existe un entier N tel que pour tout n\geq\, N, on ait |u_n - L| < \epsilon/2. Mais ceci implique que pour tout n \geq\, N :
 |u_n - \lfloor L \rfloor| \leq\, |u_n-L|+|L-\lfloor L \rfloor| < \epsilon,
puisque \lfloor L \rfloor \leq\, L < \lfloor L \rfloor +1.

Donc, à partir de l’indice N, tous les termes de la suite sont à une distance strictement inférieure à \epsilon d’un entier. Puisque seuls un nombre fini d’entiers se trouvent dans un intervalle d’amplitude 1, cela signifie que la suite (u_n) est stationnaire à partir de l’indice N et donc converge vers l’entier relatif k égal à cette valeur commune.

7. Soit (u_n) une suite divergente vers +\infty.

Pour tout n, on a u_n \geq\, u_0, donc la suite est minorée par u_0. En effet, si elle ne l’était pas, il existerait un entier n_0 tel que u_{n_0} < u_0, ce qui serait en contradiction avec l’hypothèse de divergence. Ainsi, la suite (u_n) est minorée par u_0.

Exercice 12 :

1. Pour tout entier n\geq\, 0, on a :
\begin{align*}\,a_{n+1}\,+\,b_{n+1}\,=\,\frac{a_n\,+\,b_n}{2}\,+\,\sqrt{a_nb_n}\,\\\,=\,\frac{a_n\,+\,b_n\,+\,2\sqrt{a_nb_n}}{2}\,\\\,=\,\frac{\sqrt{a_n}\,+\,\sqrt{b_n}}{\sqrt{2}}^2.\,\end{align*}

Or, puisque a > b > 0, on a \sqrt{a_n} > \sqrt{b_n} pour tout n\geq\, 0.

Ainsi, on en déduit que (a_n + b_n)/2 < a_{n+1} + b_{n+1} < a_n + b_n pour tout n\geq\, 0.

Donc (a_n + b_n)/2 est une suite croissante majorée par a_0+b_0, et donc elle converge vers une limite \ell. Par ailleurs, la suite (a_n) est décroissante, minorée par b_0 et converge donc vers une limite \ell_a. De même, la suite (b_n) est décroissante, minorée par 0, et converge donc vers une limite \ell_b. Nous allons montrer que \ell_a=\ell_b=\ell.

Pour tout entier n\geq\, 0, on a :
 a_{n+1}b_{n+1} = \frac{(a_n-b_n)^2}{4} \leq\, \frac{(a_0-b_0)^2}{4}.
Ainsi, (a_n b_n) est une suite bornée et converge vers une limite \ell_{ab}. Mais on a aussi, pour tout n\geq\, 0,
 (\frac{a_n + b_n}{2})^2 - a_nb_n = \frac{(a_n-b_n)^2}{4}.
Donc, en passant à la limite quand n\to\infty, on a \ell^2 - \ell_{ab} = \ell^2 /4. Cela montre que \ell_{ab} = 0, donc on a \lim_{n\to\infty} a_n \lim_{n\to\infty} b_n = 0, donc \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \ell.

Ainsi, les deux suites convergent vers la même limite.

2. La suite (\sin n) ne converge pas car elle prend des valeurs aussi proches que l’on veut de -1 et 1 en alternance. Plus précisément, pour tout k\in\mathbb N, on a \sin(k\pi/2) = \pm 1. La suite (\cos n) ne converge pas non plus, car sinon on aurait par la formule trigonométrique \sin^2 n + \cos^2 n \to 1, ce qui est impossible sous l’hypothèse de convergence infinie de (\sin n).

Exercice 13 :

1. Nous allons procéder par récurrence sur n.

Pour n=0, on a (1+x)^0=1\geq\, 1+0x.

Supposons maintenant que l’inégalité est vraie pour un certain entier naturel n, c’est-à-dire (1+x)^n\geq\, 1+nx. En multipliant par 1+x des deux côtés de l’inégalité, on obtient (1+x)^{n+1} \geq\, (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2.

Puisque x est positif, on a nx^2\geq\, 0, donc (1+x)^{n+1} \geq\, 1 + (n+1)x, ce qui achève la démonstration par récurrence.

2. Si a>1, alors (u_n) est une suite strictement croissante de réels positifs, donc elle diverge vers +\infty. Si a=1, alors (u_n) est constante et converge vers 1. Si -1<a<1, alors 0<a<1 (puisque a> -1) et donc a^n\to 0 lorsque n\to\infty.

Enfin, si a< -1, alors (u_n) n’a pas de limite car lorsque n est pair, a^n est positif et lorsque n est impair, a^n est négatif. Donc la suite (u_n) ne peut pas converger vers une limite.

Exercice 14 :

1. Nous allons procéder par récurrence forte. Pour n=1, on a S_1=1^3=1=2\cdot1^4 - 1^2, donc la propriété est vraie pour n=1. Supposons maintenant que la propriété est vraie pour n\geq\, 1, c’est-à-dire
 S_n = 2n^4 - n^2.
Nous allons montrer que la propriété est alors vraie pour n+1. Pour cela, on a
\begin{align*}\,S_{n+1}\,=\,S_n\,+\,(2n+1)^3\,\\\,=\,2n^4\,-\,n^2\,+\,(2n+1)^3\,\\\,=\,2n^4\,+\,6n^3\,+\,7n^2\,+\,3n\,+\,1\,\\\,=\,2(n+1)^4\,-\,(n+1)^2,\,\end{align*}

ce qui montre la propriété pour n+1.

Par récurrence forte, la propriété est donc vraie pour tout n\geq\, 1.

2. On cherche donc le plus petit entier n tel que S_n=913\,276. On sait que
 S_n = 2n^4 - n^2 = n^2 (2n^2-1).
Il suffit donc de chercher le plus petit entier n tel que n^2(2n^2-1) \geq\, 913\,276. On remarque que 25^2 (2\cdot 25^2-1) = 937\,500, donc n\geq\, 25.

On calcule ensuite les valeurs de S_{25} et S_{26} :
\begin{align*}\,S_{25}\,=\,2\cdot\,25^4\,-\,25^2\,=\,937\,375\,\\\,S_{26}\,=\,2\cdot\,26^4\,-\,26^2\,=\,970\,984\,\end{align*}

On voit donc que 913\,276 est bien entre ces deux valeurs, donc la solution cherchée est n=25.

Exercice 15 :
Soient (U_n)  une suite croissante et majorée

et (V_n)   une suite décroissante et minorée.

Les suites (U_n) et (V_n) ont-elles nécessairement la même limite ?

Il y a aucune raison pour qu’elles aient la même limite.

Si elles avaient la même limite ce serait des suites adjacentes .

V_n=\frac{1}{n+1}+3  la suite est décroissante et minorée par 3 .

U_n=-\frac{1}{n}   la suite et croissante et majorée par 0 .

or \lim \, U_n=0 et \lim \, V_n=3 .

Exercice 16 :
Indication : utiliser le   théorème de comparaison.

On suppose connu le résultat suivant :

La suite (U_n) tend vers +\infty lorsque n tend vers +\infty si tout

intervalle de la forme ]A;+\infty[ contient toutes les valeurs de U_n

à partir d’un certain rang.

Soient (U_n) et (V_n) deux suites telles que :

U_n  est inférieur ou égal à V_n  à partir d’un certain rang ;

U_n  tend vers +\infty lorsque n tend vers +\infty .

Démontrer que la suite (V_n) tend vers +\infty lorsque  n tend vers +\infty .

Exercice 17 :
Soit (U_n) telle que U_0=0 et pour tout entier naturel n, U_{n+1}=\frac{-4}{4+U_n} .

Soit (V_n) telle que , pour tout entier naturel n, V_{n }=\frac{1}{2+U_n}.

1. Démontrer que la suite (V_n) est arithmétique de raison \frac{1}{2} .

Indication : calculer V_{n+1}-V_n et montrer que cette différence ne dépend pas de n.

2. Exprimer V_n en fonction de n et en déduire que pour tout entier naturel n,

U_n=\frac{2}{n+1}-2 .

3. Calculer la limite de la suite (U_n) et celle de la suite (V_n).

Exercice 18 :
Soit (U_n) la suite définie par son premier terme U_0=0

et pour tout entier naturel n, U_{n+1}=\frac{-4}{4+U_n} .

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, -2<U_n\leq\, 0.

2. Etudier le sens de variation de la suite (U_n).

3. Etudier la convergence de la suite (U_n).

Exercice 19 :

1. On calcule les six premiers termes de la suite :
\begin{align*}\,u_0\,=\,0\,\\\,u_1\,=\,u_0\,+\,2\cdot\,0\,-\,11\,=\,-11\,\\\,u_2\,=\,u_1\,+\,2\cdot\,1\,-\,11\,=\,-8\,\\\,u_3\,=\,u_2\,+\,2\cdot\,2\,-\,11\,=\,-3\,\\\,u_4\,=\,u_3\,+\,2\cdot\,3\,-\,11\,=\,1\,\\\,u_5\,=\,u_4\,+\,2\cdot\,4\,-\,11\,=\,7\,\end{align*}

2. La courbe semble être une parabole.

On peut conjecturer que la fonction représentée par cette courbe est une fonction quadratique de la forme f(x) = ax^2 + bx +c.

Par ailleurs, on pourrait conjecturer que la suite (u_n) a pour terme général u_n = an^2 + bn +c, où a, b et c sont des constantes à déterminer.

3. Pour démontrer cette conjecture, on va utiliser la méthode des différences finies. On calcule d’abord la première différence :
\begin{align*}\,u_{n+1}\,-\,u_n\,=\,(u_n\,+\,2n\,-\,11)\,-\,u_n\,\\\,=\,2n\,-\,11\,\end{align*}

On calcule ensuite la deuxième différence :
\begin{align*}\,(u_{n+1}\,-\,u_n)\,-\,(u_n\,-\,u_{n-1})\,=\,(2n\,-\,11)\,-\,(2(n-1)\,-\,11)\,\\\,=\,2\,\end{align*}

On remarque que la deuxième différence est constante et égale à 2.

Cela nous indique que la fonction représentée par la courbe est bien une fonction quadratique. On peut donc écrire f(x) = ax^2+bx+c.

Par ailleurs, on sait que u_0 = f(0) = c, donc c = 0. On a également u_1 = f(1) = a + b, donc b = u_1 - a. Enfin, on sait que u_2 = f(2) = 4a + 2b, donc a = \frac{u_2 - 2u_1 + u_0}{4}.

On peut maintenant exprimer le terme général de la suite (u_n) :
\begin{align*}\,u_n\,=\,an^2\,+\,bn\,\\\,=\,an^2\,+\,(u_1\,-\,a)n\,\\\,=\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4}\,n^2\,+\,(u_1\,-\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4})n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(u_1\,-\,u_0)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(-11)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,-\,\frac{11}{2}\,n\,\end{align*}

On a donc bien vérifié la conjecture annoncée à la question précédente.

Exercice 20 :

1. On calcule les six premiers termes de la suite :
\begin{align*}\,u_0\,=\,0\,\\\,u_1\,=\,u_0\,+\,2\cdot\,0\,-\,11\,=\,-11\,\\\,u_2\,=\,u_1\,+\,2\cdot\,1\,-\,11\,=\,-8\,\\\,u_3\,=\,u_2\,+\,2\cdot\,2\,-\,11\,=\,-3\,\\\,u_4\,=\,u_3\,+\,2\cdot\,3\,-\,11\,=\,1\,\\\,u_5\,=\,u_4\,+\,2\cdot\,4\,-\,11\,=\,7\,\end{align*}

2. La courbe semble être une parabole. On peut conjecturer que la fonction représentée par cette courbe est une fonction quadratique de la forme f(x) = ax^2 + bx +c.

Par ailleurs, on pourrait conjecturer que la suite (u_n) a pour terme général u_n = an^2 + bn +c, où a, b et c sont des constantes à déterminer.

3. Pour démontrer cette conjecture, on va utiliser la méthode des différences finies. On calcule d’abord la première différence :
\begin{align*}\,u_{n+1}\,-\,u_n\,=\,(u_n\,+\,2n\,-\,11)\,-\,u_n\,\\\,=\,2n\,-\,11\,\end{align*}

On calcule ensuite la deuxième différence :
\begin{align*}\,(u_{n+1}\,-\,u_n)\,-\,(u_n\,-\,u_{n-1})\,=\,(2n\,-\,11)\,-\,(2(n-1)\,-\,11)\,\\\,=\,2\,\end{align*}
On remarque que la deuxième différence est constante et égale à 2.

Cela nous indique que la fonction représentée par la courbe est bien une fonction quadratique. On peut donc écrire f(x) = ax^2+bx+c.

Par ailleurs, on sait que u_0 = f(0) = c, donc c = 0. On a également u_1 = f(1) = a + b, donc b = u_1 - a. Enfin, on sait que u_2 = f(2) = 4a + 2b, donc a = \frac{u_2 - 2u_1 + u_0}{4}.

On peut maintenant exprimer le terme général de la suite (u_n) :
\begin{align*}\,u_n\,=\,an^2\,+\,bn\,\\\,=\,an^2\,+\,(u_1\,-\,a)n\,\\\,=\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4}\,n^2\,+\,(u_1\,-\,\frac{u_2\,-\,2u_1\,+\,u_0}{4})n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(u_1\,-\,u_0)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,+\,\frac{1}{2}(-11)\,n\,\\\,=\,\frac{1}{4}(u_2\,-\,2u_1)n^2\,-\,\frac{11}{2}\,n\,\end{align*}

On a donc bien vérifié la conjecture annoncée à la question précédente.

Exercice 21 :

Nous allons prouver par récurrence que u_n = 2^n pour tout entier n\geq\, 0.

Pour n=0 et n=1, on a respectivement u_0 = 1 = 2^0 et u_1\,=\,2\,=\,2^1, donc la propriété est vraie pour n=0 et n=1.

Supposons maintenant que la propriété est vraie pour n et n+1, c’est-à-dire que u_n = 2^n et u_{n+1} = 2^{n+1}.

On va montrer que la propriété est alors vraie pour n+2, c’est-à-dire que u_{n+2} = 2^{n+2}.

En utilisant la relation de récurrence, on a
 u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n = 5\cdot 2^{n+1} - 6\cdot 2^n = 2^{n+2},
ce qui montre la propriété pour n+2.

Par récurrence, la propriété est donc vraie pour tout entier n\geq\, 0, c’est-à-dire que pour tout entier n\geq\, 0, on a u_n = 2^n.

Exercice 22 :

1. On calcule les quatre premiers termes de la suite :

 S_1 = \frac{(-1)^0}{1} = 1,\quad S_2 = \frac{(-1)^0}{1} + \frac{(-1)^1}{2} = \frac{1}{2},\quad S_3 = \frac{(-1)^0}{1} + \frac{(-1)^1}{2}+\frac{(-1)^2}{3} = \frac{5}{6},
\begin{align*}\,S_4\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\frac{(-1)^2}{3}+\frac{(-1)^3}{4}\,\\\,=\,\frac{1}{2}\,-\,\frac{1}{4}\,\\\,=\,\frac{1}{4}.\,\end{align*}

2. D’après leur définition, on a u_n = S_{2n} et v_n = S_{2n+1}.

On veut montrer que (u_n) est croissante, (v_n) est décroissante et que v_n - u_n tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

Pour montrer que (u_n) est croissante, on considère n\geq\, 1, on a
\begin{align*}\,u_{n+1}\,-\,u_n\,=\,S_{2n+2}\,-\,S_{2n}\,\\\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n}\,+\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,-\,(\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n})\,\\\,=\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,\\\,=\,\frac{1}{n+1}.\,\end{align*}

Ainsi, (u_n) est une suite croissante.

De même, pour montrer que (v_n) est décroissante, on considère n\geq\, 1, on a
\begin{align*}\,v_{n+1}\,-\,v_n\,=\,S_{2n+3}\,-\,S_{2n+1}\,\\\,=\,\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n}}{n+1}\,+\,\frac{(-1)^{2n+1}}{n+2}\,-\,(\frac{(-1)^0}{1}\,+\,\frac{(-1)^1}{2}+\cdots\,+\,\frac{(-1)^{2n-1}}{n})\,\\\,=\,\frac{(-1)^{2n+1}}{n+2}\,\\\,=\,-\frac{1}{n+2}.\,\end{align*}

Ainsi, (v_n) est une suite décroissante.

Enfin, pour montrer que v_n - u_n tend vers 0 quand n tend vers l’infini, on a
 v_n - u_n = S_{2n+1} - S_{2n} = \frac{(-1)^{2n}}{2n+1},
et donc
 |v_n - u_n| = \frac{1}{2n+1}.
La suite (|v_n - u_n|) tend donc vers 0 quand n tend vers l’infini, ce qui montre que (u_n) et (v_n) sont adjacentes.

En conclusion, les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes et convergent vers une même limite, qui est ln2.

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