Géométrie dans l'espace : exercices de maths en 1ère corrigés.

La géométrie dans l’espace à travers des exercices de maths en 1ère corrigés. L’élève devra être capable de représenter des solides dans l’espace (cube, parallélépipède rectangle -, cône de révolution, pyramide, cylindre). Déterminer l’intersection entre une droite ou un plan avec un solide l’espace mais également, déterminer l’équation cartésienne d’une droite ou d’un plan en première.

Exercice 1 – Cercle et lieux de points
Il est vivement recommandé d’utiliser un logiciel de géométrie…

1. Partie préliminaire :
on considère un triangle ABC, G son centre de gravité,
Ω le centre de son cercle circonscrit et H son orthocentre.

Montrer que H est l’image de Ω dans une homothétie de centre G dont on précisera le rapport.

2. On considère un cercle Γ de centre O, de rayon R, passant par un point fixe A.
Soient B et C deux points de Γ tels que la distance BC soit constante et égale à l.

a. Quel est le lieu géométrique des milieux I de [BC] ?

b. Quel est le lieu géométrique des centres de gravité G de ABC ?

c. Quel est le lieu géométrique des orthocentres H de ABC ?

3. Reprendre la partie 2. avec BC sur une droite ∆ ne passant pas par A, A fixe.

Exercice 2 – Homothéties et droites parallèles
ABC est un triangle isocèle (AB = AC).
E et F sont deux points du segment [BC].
Les parallèles à (AB) menées par E et F coupent (AC) en G et H respectivement.
Les parallèles à (AC) menées par E et F coupent (AB) en I et J respectivement.

1. Montrer que GH = IJ.

2. Quelle condition doivent vérifier E et F pour que (JG) et (IH) soient parallèles ?

Exercice 3 – Pyramide à base triangulaire
La pyramide SABCD est à base rectangulaire.

On appelle I le milieu de [SA] et J le milieu de [SB].

Déterminer l’intersection des plans (DIJ) et (SAC).

Exercice 4 – Etude d’un pavé droit
ABCDEFGH est un pavé droit.
On note I le milieu de l’arête [AB] et J le point tel que $\vec{HJ}=\frac{3}{4}\vec{AB}$ .

O est le centre de la face BCGF.

Démontrer que les droites (IH) et (JO) sont parallèles.

Exercice 5 – Etude d’une pyramide
SABCD est une pyramide à base carrée ABCD de centre O.

G est le centre de gravité du triangle SBD et E est le milieu du segment [SC].

Démontrer que les points A, G et E sont alignés.

Exercice 6 – Points coplanaires
L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .

On considère les points :

A(1 ; 0 ; – 1) B( – 1 ; 0 ; 0) C(1 ; – 6 ; 4) D(4 ; – 9 ; 5) E(3 ; – 6 ; 3)

1. Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.

2. Montrer que le point D appartient à la droite (AE).

3. Montrer que ABCE est un parallélogramme. Est-ce un rectangle ? Est-ce un carré ?

Exercice 7 – Points alignés
On donne A (1 ; – 2 ; 3), B (0 ; 4 ; 4) et C (4 ; – 20 ; 9).

Les points A, B et C sont-ils alignés ?

Exercice 8 – Nature d’un triangle
On donne A(1 ; 1 ; 3), $B(\sqrt{2}+1;0;2)\,et\,C(\sqrt{2}+1;2;2).$

Quelle est la nature du triangle ABC ?

Exercice 9 – Droites parallèles
On donne A( – 3 ; 1 ; 4), B( – 2 ; – 1 ; 7), C( – 4 ; – 1 ; – 2) et D(- 5 ;- 5 ; 4).

Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

Exercice 10 – Calculer les coordonnées d’un barycentre
On donne A(2 ; – 1 ; 3), B(1 ; 2 ; 0), C( – 2 ; 1 ; 2) et D( -1 ; – 2 ; 5).

1. ABCD est-il un parallélogramme ? Un rectangle ?

2. Calculer les coordonnées de l’isobarycentre du quadrilatère ABCD.

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