Bac S maths 2015

Bac S 2015 : sujet blanc corrigé du baccalauréat en terminale S

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Un sujet du bac S 2015 blanc de mathématiques pour les élèves de terminale S au lycée afin de se préparer et de réviser en ligne les épreuves du baccalauréat.

Le sujet comporte 4 exercices indépendants à traiter dans l’ordre de son choix et à rédiger sur des copies séparées.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,qu’il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

L’usage d’une calculatrice est autorisé.

Exercice 1 : commun à tous les candidats (5 pts)

On note R l’ensemble des nombres réels et on considère la fonction f définie sur R
par   f(x)=xe^{x-1}+1.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j})

Partie A : étude de la fonction

1. Déterminer la limite de f en -\infty.
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. Déterminer la limite de f en +\infty.

3. On admet que f est dérivable sur R, et on note f ‘ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout réel x, f'(x)=(x+1)e^{x-1}.

4. Étudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variation sur R.

Partie B : recherche d’une tangente particulière

Soit a un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s’il existe
une tangente à la courbe C au point d’abscisse a, qui passe par l’origine du repère.

1. On appelle Ta la tangente à C au point d’abscisse a. Donner une équation de
Ta .

2. Démontrer qu’une tangente à C en un point d’abscisse a strictement positive
passe par l’origine du repère si et seulement si a vérifie l’égalité  1-a^2a^{a-1}=0.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en
compte dans l’évaluation.
Démontrer que 1 est l’unique solution sur l’intervalle ]0 ; +\infty[ de l’équation 1-x^2e^{x-1}=0.

4. Donner alors une équation de la tangente recherchée.

Exercice 2 : commun à tous les candidats (6 pts)

Partie A

On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réelU et les entiers naturels k et N.

Algorithme

Algorithme

Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3?

Partie B

On considère la suite (Un) définie par U0 = 0 et, pour tout entier naturel n, Un+1 = 3Un −2n +3.

1. Calculer u1 et u2.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, U_n\geq n.

b. En déduire la limite de la suite (Un).

3. Démontrer que la suite (Un) est croissante.

4. Soit la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn = Un −n +1.

a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n,  U_n = 3^n +n-1.

5. Soit p un entier naturel non nul.

a. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe aumoins un entier n_0 tel que, pour
tout n\geqn0,  U_n  \geq 10^p ?
On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0.
b. Justifier que n0 \leq 3p.
c. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 3.
d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche
en sortie la valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n \geq n0,
on ait  U_n  \geq 10^p  .

Exercice 3 : commun à tous les candidats (4 pts)

1. Résoudre dans C l’équation z^2-2z+5=0.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  (O,\vec{i},\vec{j})  d’unité graphique 2 cm.
On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA, zB, zC et zD où :

z_A = 1+2i, z_B = \overline{z_A}, z_C = 1+\sqrt{3}+i, z_D = \overline{z_C}.

a. Placer les points A et B dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}).

b. Calculer  \frac{z_B -z_C}{z_A -z_C}  et donner le résultat sous forme algébrique.

c. En déduire la nature du triangle ABC.

3. Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle \Gamma dont on précisera le
centre et le rayon.

4. Construire les points C et D dans le repère (O,\vec{u},\vec{v}). Expliquer la construction proposée.

Exercice 4 : candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité (5 pts)

Au baccalauréat en série S, un élève a 86% de chance de réussir l’examen
la première fois qu’il passe les épreuves.Cet élèbe a alors 10 % de chance d’obtenir la mention TB.

Si un élève échoue une année, il a 96 % de chances de réussir l’année suivante et il alors 25 % de chan ces d’avoir la mention TB.

On note :

– E1 : « l’élève a réussi l’examen la première année ».

– E2 :  « l’élève a réussi l’examen la deuxième année ».

– M : « l’élève a obtenu la mention TB ».

Partie A :

On s’intéresse aux élèves qui passent les examens sur deux ans au maximum.

1. Traduire les données de l’énoncé par un arbre pondére.

2. Calculer la probabilité qu’un élève réussisse son bac S.

3. Montrer que la probabilité qu’un élève réussisse son bac S avec la mention TB est égale à 0,1196.

a. Sachant qu’un élève a eu une mention TB, calculer la probabilité qu’il l’ait obtenue la première année.

Partie B :

Un élève passe l’examen jusqu’à son succès.

Calculer le nombre d’années minimum pour que la probabilité de réussir le bac S soit supérieure ou égale à 0,9999.

Exercice 4 : candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité (5 pts)

On associe à chaque lettre de l’alphabet un entier de l’ensemble

E = {0 ; 1 ; ………………. ; 24 ; 25 } suivant le tableau ci-dessous :

tableau

tableau

A. LE PRINCIPE DU CHIFFREMENT DE HILL

Dans cette partie, on se donne pour clé de chiffrement la matrice :

A=\begin{pmatrix} 2  5\\1  3 \end{pmatrix}

On va chiffrer dans la suite le mot INDICE. A l’aide de la grille ci-dessus, on
code le mot INDICE, ce qui donne 8-13-3-8-2-4. On regroupe ensuite les
lettres deux par deux et on forme ainsi les matrices colonnes :

U_1=\begin{pmatrix} 8\\13 \end{pmatrix}     U_2=\begin{pmatrix} 3\\8 \end{pmatrix}   U_3=\begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix}

1. a Calculer la matrice V_ 1 = AU_ 1 , V 2 = AU_ 2 , V_ 3 = AU_3 .
b. En remplaçant chaque élément de ces matrices colonnes par son
représentant dans E modulo 26, obtenir les matrices colonnes W_ 1 , W_ 2 , W_ 3 .
c. En associant les éléments de ces matrices W_ 1 , W_ 2 , W_ 3 aux lettres selon le tableau précédent, on obtient le message sous sa forme codée. Vérifier que que ce message est DVUBYO.
2. a. Déterminer la matrice B, inverse de A, à l’aide d’une calculatrice.
b. Vérifier, en détaillant votre démarche, que le principe de chiffrement de Hill, avec la clé B, appliqué au message DVUBYO redonne le message d’origine.
3. Déchiffrer, en détaillant votre démarche, le message YOWPEE.

B. UN AUTRE EXEMPLE

On se donne maintenant pour clé la matrice A=\begin{pmatrix} 9  5\\4  7 \end{pmatrix}
1. Chiffrer le mot INDICE avec cette clé.
2. Soit la matrice M=\begin{pmatrix} 7  -5\\-4  9 \end{pmatrix} .
a. Calculer le produit M A et en déduire que A est inversible.
b. Identifier la matrice B , inverse de la matrice A .
3. Expliquer pourquoi l’utilisation de la clé B ne permet pas de déchiffrer le message HTPQMK.

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Sujet Bac S 2015 blanc en terminale S

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