Sujet Bac S 2015

Bac Blanc 2015 maths série S

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Un sujet du baccalauréat S de mathématiques en classe de terminale S, cette épreuve est un bac blanc 2015 pour réviser en ligne.

MATHEMATIQUES – Série S
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE – Coefficient 7
Durée de l’épreuve : 4 heures
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
réglementation en vigueur
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous
les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précé-
demment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition
de l’indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront
prises en compte dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 : 6 points Commun à tous les candidats

Partie A

La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :  f (x) = (20x + 10)e^{-\frac{1}{2}x}.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal
(O,\vec{i},\vec{j}) (unités graphiques : 1 cm sur (Ox), et 0,5 cm sur (O y) .
1. Étudier la limite de la fonction f en +∞.
2. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations.
3. Établir que l’équation f (x) = 10 admet une unique solution strictement positive
α dans l’intervalle ]0 ; +∞[. Donner une valeur décimale approchée à
10^{-3} près de α.
4. Tracer la courbe C .

Partie B

On note y(t) la valeur, en degrés Celsius, de la température d’une réaction chimique
à l’instant t, t étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l’instant t = 0, est
y(0) = 10.
On admet que la fonction qui, à tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[
associe y(t), est solution de l’équation différentielle (E) : y'+\frac{1}{2}y=20e^{-\frac{1}{2}t}.
1. Vérifier que la fonction u définie sur [0 ; +∞[ par u(t)=20te^{-\frac{1}{2}t} est solution de (E).
2. On se propose de démontrer que la fonction f étudiée dans la partie A est
l’unique solution de l’équation différentielle (E), définie sur l’intervalle [0 ; +∞[,
qui prend la valeur 10 à l’instant 0.
a. Démontrer qu’une fonction g est solution de l’équation différentielle
(E) si et seulement si g − u est solution de l’équation différentielle :(E') : y'+\frac{1}{2}y=0
b. Résoudre l’équation différentielIe (E’).
c. Conclure.
3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescent-elle
à sa valeur initiale ? Le résultat sera arrondi à la minute.

EXERCICE 2 : 5 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O,\vec{u},\vec{v}) d’unité graphique 2 cm.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives :
z_A = −2i, z_B = −\sqrt{ 3}+i , zC =\sqrt{3}+i

1. a. Écrire zA, zB et zC sous forme exponentielle.
b. En déduire le centre et le rayon du cercle Γ passant par les points A, B et
C.
c. Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle Γ puis placer les
points B et C.
2. a. Écrire le quotient  \frac{zB - zA }{zC - zA} sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
b. En déduire la nature du triangle ABC .
3. On note r la rotation de centre A et d’angle mesurant \frac{\pi}{3} radians.
a. Montrer que le point O’, image de O par r , a pour affixe -\sqrt{3}-i.
b. Démontrer que les points C et O ‘ sont diamétralement opposés sur le cercle Γ.
c. Tracer l’image Γ ‘ du cercle Γ par la rotation r.
d. Justifier que les cercles Γ et Γ ‘ se coupent en A et B.
4. a. Déterminer l’ensemble (E) des points M d’affixe z tels que
\left |z \right |=\left |z+\sqrt{3}+i \right |
b. Montrer que les points A et B appartiennent à (E).

EXERCICE 3 : 5 points  Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

La suite (un) est définie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ N, U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n+n-1.
1. a. Démontrer par récurrence que pour tout n \geq 3, un \geq  0.
b. Exprimer U_n en fonction de U_{n-1} et n , pour tout n \geq 1,
c. En déduire que, pour tout n \geq 4, Un \geq n −2.
d. En déduire la limite de la suite (Un).
2. On définit la suite (Vn) par Vn = 4Un −8n +24.
a. Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on donnera la raison
et le premier terme.
b. Démontrer que, pour tout n ∈ N, U_n=7\left ( \frac{1}{2} \right )^n+2n-6.
c. Vérifier que , pour tout n ∈ N, u_n = x_n + y_n où (xn) est une suite géométrique
et (yn) une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison.
d. En déduire l’expression de S_n =\sum_{k=0}^{n}U_k en fonction de n.

EXERCICE 4 : 4 points Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = x(1−lnx).
La courbe représentative C de la fonction f est donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie).

Étude de la fonction f

1. Étudier le signe de f (x) suivant les valeurs du nombre réel x.
2. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
3. Déterminer la dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et dresser le
tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. Soit a un nombre réel strictement positif. On considère la tangente (Ta) au
point A de la courbe C d’abscisse a.
a. Déterminer, en fonction du nombre réel a, les coordonnées du point A’,
point d’intersection de la droite (Ta) et de l’axe des ordonnées.
b. Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente (Ta).
Sur l’annexe ci-dessous (à rendre avec la copie) construire la tangente
(Ta) au point A placé sur la figure.

ANNEXE (Exercice 4)
(à rendre avec la copie)

courbes

courbes

Correction Bac S blanc 2015

Bac S maths 2015

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